Номер 9.1, страница 64 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Упражнения - номер 9.1, страница 64.

Условие.

9.1. К горизонтальному стержню подвешен груз массой 50 кг (см. рисунок). Каковы силы давления стержня на опоры, если $AC = 40$ см, $BC = 60$ см? Массой стержня можно пренебречь.

☑ $N_1 = 300$ H; $N_2 = 200$ H.

Решение. Поскольку стержень находится в равновесии, то $m\vec{g} + \vec{N}_1 + \vec{N}_2 = 0$.

Отсюда $N_1 + N_2 = mg$. Применим правило моментов, считая, что ось вращения проходит через точку C. Тогда $N_1 l_1 = N_2 l_2$.

Из уравнений $N_1 + N_2 = mg$ и $N_1 l_1 = N_2 l_2$ получаем $N_1 = \frac{mg l_2}{l_1 + l_2}$, $N_2 = \frac{mg l_1}{l_1 + l_2}$.

Подставляя числовые данные, находим $N_1 = 300$ H; $N_2 = 200$ H.

Решение.

Дано:

$m = 50 \text{ кг}$

$AC = l_1 = 40 \text{ см}$

$BC = l_2 = 60 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$AC = 0.4 \text{ м}$

$BC = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$F_1, F_2$ - силы давления стержня на опоры.

Решение:

Поскольку стержень находится в равновесии, должны выполняться два условия равновесия:
1. Сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю.
2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю.

На стержень действуют три вертикальные силы: сила тяжести груза $ \vec{F}_g = m\vec{g} $, приложенная в точке C, и силы реакции опор $ \vec{N}_1 $ (в точке А) и $ \vec{N}_2 $ (в точке B). Силы давления стержня на опоры, которые нам нужно найти, по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению силам реакции опор. Обозначим их $ F_1 $ и $ F_2 $. Таким образом, $ F_1 = N_1 $ и $ F_2 = N_2 $.

Запишем первое условие равновесия в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:
$ N_1 + N_2 - mg = 0 $
Отсюда получаем первое уравнение:
$ N_1 + N_2 = mg $ (1)

Запишем второе условие равновесия (правило моментов). Удобно выбрать ось вращения в точке, где приложена одна из неизвестных сил, или в точке приложения силы тяжести. Выберем ось вращения, проходящую через точку С. Момент силы $ mg $ относительно этой оси равен нулю. Момент силы $ N_1 $ создает вращение против часовой стрелки (считаем его положительным), а момент силы $ N_2 $ - по часовой стрелке (считаем его отрицательным).
Сумма моментов сил относительно точки C:
$ M(N_1) + M(N_2) = 0 $
$ N_1 \cdot AC - N_2 \cdot BC = 0 $
Отсюда получаем второе уравнение:
$ N_1 \cdot AC = N_2 \cdot BC $ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $ N_1 $ и $ N_2 $:
$ \begin{cases} N_1 + N_2 = mg \\ N_1 \cdot AC = N_2 \cdot BC \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $ N_1 $ через $ N_2 $:
$ N_1 = N_2 \cdot \frac{BC}{AC} $

Подставим это выражение в первое уравнение:
$ N_2 \cdot \frac{BC}{AC} + N_2 = mg $
$ N_2 \left(\frac{BC}{AC} + 1\right) = mg $
$ N_2 \left(\frac{BC + AC}{AC}\right) = mg $
Отсюда находим $ N_2 $:
$ N_2 = \frac{mg \cdot AC}{AC + BC} $

Рассчитаем вес груза $ mg $, приняв $ g \approx 10 \text{ Н/кг} $:
$ mg = 50 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 500 \text{ Н} $

Подставим числовые значения для нахождения $ N_2 $:
$ N_2 = \frac{500 \text{ Н} \cdot 0.4 \text{ м}}{0.4 \text{ м} + 0.6 \text{ м}} = \frac{200 \text{ Н} \cdot \text{м}}{1.0 \text{ м}} = 200 \text{ Н} $

Теперь найдем $ N_1 $ из первого уравнения:
$ N_1 = mg - N_2 = 500 \text{ Н} - 200 \text{ Н} = 300 \text{ Н} $

Силы давления стержня на опоры равны по модулю найденным силам реакции опор:
$ F_1 = N_1 = 300 \text{ Н} $
$ F_2 = N_2 = 200 \text{ Н} $

Ответ: Сила давления стержня на опору А равна 300 Н, а на опору B – 200 Н.