Номер 8.3, страница 58 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 8. Применение законов динамики. Динамика. Механика - номер 8.3, страница 58.

Условие.

8.3. Тело соскальзывает с наклонной плоскости без начальной скорости. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha = 30^{\circ}$, длина наклонной плоскости $l = 2$ м, коэффициент трения тела о плоскость $\mu = 0,3$. С каким ускорением движется тело? Сколько времени длится соскальзывание?

☑ $a = 2,4$ м/с$^2$; $t = 1,3$ с.

Решение. На рисунке показаны действующие на тело силы. Согласно второму закону Ньютона $\vec{ma} = \vec{mg} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

В проекциях на оси координат

$ma = mg \sin \alpha - F_{тр}$, (1)

$0 = -mg \cos \alpha + N$. (2)

Сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N$. Из уравнения (2) следует $N = mg \cos \alpha$, так что $F_{тр} = \mu mg \cos \alpha$. Подставляя это выражение в уравнение (1), получаем $a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$. Из соотношения $l = at^2/2$ получаем

$t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)}} = 1,3$ (с).

Из формулы для ускорения следует, что соскальзывание может происходить при $\mu > \text{tg } \alpha$ (в данном случае это условие выполнено). При $\mu > \text{tg } \alpha$ получаем $a < 0$. Это означает, что если бы тело в начальный момент двигалось вниз по наклонной плоскости с некоторой начальной скоростью, то его движение замедлялось бы.

Решение.

Дано:
Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
Угол наклона плоскости $\alpha = 30°$
Длина наклонной плоскости $l = 2$ м
Коэффициент трения $\mu = 0.3$

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:
Ускорение тела $a$ - ?
Время соскальзывания $t$ - ?

С каким ускорением движется тело?

Решение:
На тело, соскальзывающее с наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная против движения, то есть вверх вдоль плоскости.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение:$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Выберем систему координат: ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх. Запишем уравнения в проекциях на эти оси:

Проекция на ось $Ox$: $ma = mg \sin\alpha - F_{тр}$
Проекция на ось $Oy$: $0 = N - mg \cos\alpha$

Из уравнения для оси $Oy$ выразим силу нормальной реакции опоры: $N = mg \cos\alpha$.

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением: $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $N$, получим: $F_{тр} = \mu mg \cos\alpha$.

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси $Ox$:$ma = mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, получим формулу для вычисления ускорения:$a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

Подставим числовые значения:$a = 10 \cdot (\sin 30° - 0.3 \cdot \cos 30°) = 10 \cdot (0.5 - 0.3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 10 \cdot (0.5 - 0.3 \cdot 0.866) = 10 \cdot (0.5 - 0.2598) = 10 \cdot 0.2402 \approx 2.4$ м/с².

Ответ: $a \approx 2.4$ м/с².

Сколько времени длится соскальзывание?

Решение:
Тело движется из состояния покоя ($v_0 = 0$) с постоянным ускорением $a$. Путь, пройденный телом, в этом случае определяется по формуле равноускоренного движения:$l = v_0 t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы время $t$:$t = \sqrt{\frac{2l}{a}}$

Подставим известные значения длины наклонной плоскости $l$ и найденное ранее ускорение $a$:$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \text{ м}}{2.4 \text{ м/с²}}} = \sqrt{\frac{4}{2.4}} \text{ с} \approx \sqrt{1.667} \text{ с} \approx 1.29$ с.

Округлив результат до десятых, получаем $t \approx 1.3$ с.

Ответ: $t \approx 1.3$ с.