Номер 30, страница 54 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 7. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес тела. Динамика. Механика - номер 30, страница 54.

Условие.

О-30. К какому уменьшению веса тел на экваторе по сравнению с полюсом приводит вращение Земли? В каком направлении и с какой скоростью $\text{v}$ должен лететь самолет, чтобы на нем этот эффект не наблюдался? Считайте Землю однородным шаром.

☑ Вес уменьшается на 0,35 %; самолет должен лететь на запад со скоростью 460 м/с.

Решение. Легче всего ответить на второй вопрос: самолет не должен участвовать в суточном вращении Земли. Для этого он должен лететь с востока на запад со скоростью суточного вращения точек земного экватора $v = 2\pi R/T$, где $\text{R}$ — радиус Земли, $\text{T}$ — продолжительность суток. Найдем теперь относительное уменьшение веса тел на экваторе, считая Землю однородным шаром. Тело, находящееся на полюсе, не участвует в суточном вращении Земли, поэтому его вес равен силе тяжести $mg^*$. На тело, покоящееся на экваторе, действует такая же по модулю сила тяготения $mg$ и сила $\text{N}$ реакции опоры (см. рисунок). Их равнодействующая, равная по модулю $mg - N$, придает телу центростремительное ускорение $a = v^2/R = 4\pi^2R/T^2$.

Следовательно, $N = m(g - a) = mg \left(1 - \frac{4\pi^2R}{gT^2}\right)$. Вес $\text{P}$ равен по модулю силе $\text{N}$ (согласно третьему закону Ньютона). Относительное уменьшение веса на экваторе: $\varepsilon = (mg - P)/(mg) = 4\pi^2R/(gT^2) = 3,5 \cdot 10^{-3}$. На самом деле уменьшение веса на экваторе по сравнению с полюсом составляет не 0,35 %, а около 0,5 %. Это объясняется отклонением формы земной поверхности от сферической: Земля сплюснута у полюсов. Однако такая форма Земли тоже обусловлена ее суточным вращением.

Решение.

1. К какому уменьшению веса тел на экваторе по сравнению с полюсом приводит вращение Земли?

Дано:

Радиус Земли на экваторе, $R \approx 6378$ км

Период вращения Земли, $T = 24$ часа

Ускорение свободного падения на полюсе, $g \approx 9,83$ м/с²

$R = 6378 \times 10^3$ м $= 6,378 \times 10^6$ м
$T = 24 \times 3600$ с $= 86400$ с

Найти:

Относительное уменьшение веса, $\epsilon = \frac{P_{полюс} - P_{экватор}}{P_{полюс}}$

Решение:

Вес тела $P$ — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. По третьему закону Ньютона, она равна по модулю силе реакции опоры $N$.

На полюсе тело не участвует во вращательном движении вокруг оси Земли. Сила тяжести $F_g$ уравновешивается силой реакции опоры $N_{полюс}$. Таким образом, вес тела на полюсе равен силе тяжести:

$P_{полюс} = N_{полюс} = F_g = mg$

На экваторе тело движется по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$. На него действуют сила тяжести $F_g$, направленная к центру Земли, и сила реакции опоры $N_{экватор}$, направленная от центра. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_g - N_{экватор} = ma_ц$

Вес тела на экваторе равен $P_{экватор} = N_{экватор}$. Отсюда:

$P_{экватор} = F_g - ma_ц = mg - ma_ц$

Центростремительное ускорение определяется через угловую скорость вращения Земли $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$a_ц = \omega^2 R = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2R}{T^2}$

Найдем относительное уменьшение веса $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{P_{полюс} - P_{экватор}}{P_{полюс}} = \frac{mg - (mg - ma_ц)}{mg} = \frac{ma_ц}{mg} = \frac{a_ц}{g}$

Подставим выражение для $a_ц$:

$\epsilon = \frac{4\pi^2R}{gT^2}$

Вычислим значение:

$\epsilon = \frac{4 \times (3,1416)^2 \times 6,378 \times 10^6 \text{ м}}{9,83 \text{ м/с}^2 \times (86400 \text{ с})^2} \approx \frac{2,519 \times 10^8}{7,33 \times 10^{10}} \approx 0,00344$

Чтобы выразить результат в процентах, умножим на 100%:

$\epsilon \approx 0,00344 \times 100\% \approx 0,344\%$

Ответ: Вращение Земли приводит к уменьшению веса тел на экваторе примерно на 0,344% по сравнению с полюсом.

2. В каком направлении и с какой скоростью v должен лететь самолет, чтобы на нем этот эффект не наблюдался?

Дано:

Радиус Земли на экваторе, $R \approx 6378$ км

Период вращения Земли, $T = 24$ часа

$R = 6,378 \times 10^6$ м
$T = 86400$ с

Найти:

Направление и скорость самолета $v$.

Решение:

Эффект уменьшения веса на экваторе вызван центростремительным ускорением, которое возникает из-за суточного вращения Земли. Чтобы этот эффект не наблюдался, тело (самолет) должно быть неподвижным в инерциальной системе отсчета, связанной с центром Земли (или со звездами). В этой системе отсчета на тело не будет действовать центробежная сила инерции, и его вес будет равен силе тяжести, как на полюсе.

Земля вращается с запада на восток. Следовательно, чтобы оставаться неподвижным относительно центра Земли, самолет должен лететь в противоположном направлении, то есть с востока на запад.

Скорость самолета относительно поверхности Земли должна быть равна по модулю линейной скорости точек на экваторе, вызванной вращением планеты.

Линейная скорость точки на экваторе вычисляется по формуле:

$v = \frac{2\pi R}{T}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{2 \times 3,1416 \times 6,378 \times 10^6 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \approx \frac{4,0075 \times 10^7 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \approx 463,8 \text{ м/с}$

Ответ: Самолет должен лететь с востока на запад со скоростью около 464 м/с.