Номер 7.2, страница 50 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 7. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес тела. Упражнения - номер 7.2, страница 50.

Условие.

7.2. Оцените массу Солнца, считая расстояние $\text{R}$ от Земли до Солнца равным $1,5 \cdot 10^8$ км. Считайте орбиту Земли круговой.

☑ $2 \cdot 10^{30}$ кг.

Решение. На Землю действует сила притяжения Солнца, которую можно рассчитать по закону всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_E \cdot m}{R^2}$

Эту же силу можно найти из второго закона Ньютона $F = m_З a$, где центростремительное ускорение Земли при движении вокруг Солнца $a = \frac{4\pi^2R}{T^2}$, где $T = 1$ год.

Из этих двух формул получаем: $G \frac{M_C \cdot m_З}{R^2} = m_З \frac{4\pi^2R}{T^2}$.

Отсюда масса Солнца равна

$M_C = \frac{4\pi^2R^3}{G \cdot T^2} \approx 2 \cdot 10^{30}$ (кг).

Решение.

Дано:

Расстояние от Земли до Солнца $R = 1,5 \cdot 10^8 \text{ км}$

Период обращения Земли вокруг Солнца $T = 1 \text{ год}$

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$R = 1,5 \cdot 10^8 \text{ км} = 1,5 \cdot 10^8 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}$

$T = 1 \text{ год} \approx 365,25 \text{ суток} = 365,25 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 3,156 \cdot 10^7 \text{ с}$

Найти:

Массу Солнца $M_с$.

Решение:

Земля движется по круговой орбите вокруг Солнца. Это движение обеспечивается силой всемирного тяготения, которая действует как центростремительная сила. Запишем закон всемирного тяготения для системы Солнце-Земля:

$F = G \frac{M_с \cdot m_з}{R^2}$

где $M_с$ — масса Солнца, $m_з$ — масса Земли, $R$ — расстояние между ними (радиус орбиты), а $G$ — гравитационная постоянная.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы Земли на ее центростремительное ускорение $a_ц$:

$F = m_з \cdot a_ц$

Приравняем правые части этих двух выражений:

$G \frac{M_с \cdot m_з}{R^2} = m_з \cdot a_ц$

Масса Земли $m_з$ сокращается:

$G \frac{M_с}{R^2} = a_ц$

Центростремительное ускорение при движении по окружности с периодом $T$ и радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$G \frac{M_с}{R^2} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Из этого уравнения выразим массу Солнца $M_с$:

$M_с = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$M_с = \frac{4 \cdot (3,14159)^2 \cdot (1,5 \cdot 10^{11})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (3,156 \cdot 10^7)^2} \approx \frac{4 \cdot 9,87 \cdot 3,375 \cdot 10^{33}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 9,96 \cdot 10^{14}} \approx \frac{133,2 \cdot 10^{33}}{66,4 \cdot 10^3} \approx 2,0 \cdot 10^{30} \text{ кг}$

Ответ:

Масса Солнца составляет приблизительно $2 \cdot 10^{30}$ кг.