Номер 27, страница 49 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 6. Сила упругости. Сила трения. Динамика. Механика - номер 27, страница 49.

Условие.

О-27. На диск проигрывателя на расстоянии $\text{r}$ от оси положили монету массой $\text{m}$. Диск вращается с частотой $\text{n}$. Коэффициент трения между монетой и диском равен $\mu$. Найдите зависимость силы трения, действующей на монету, от расстояния $\text{r}$.

☑ $F_{\text{тр}} = 4\pi^2mrn^2$ при $r < \frac{\mu g}{4\pi^2n^2}$; $F_{\text{тр}} = \mu mg$ при $r > \frac{\mu g}{4\pi^2n^2}$.

Решение. Прежде всего надо выяснить, будет ли монета покоиться относительно диска или будет скользить по нему. В первом случае сила трения — это сила трения покоя, она сообщает монете центростремительное ускорение $a = 4\pi^2rn^2$ и равна по модулю $ma = 4\pi^2mrn^2$. Для силы трения покоя должно выполняться условие $F_{\text{тр}} \le \mu N$. В данном случае сила нормального давления $\text{N}$ равна $mg$, поэтому получается неравенство $4\pi^2mrn^2 \le \mu mg$, откуда $r \le \frac{\mu g}{4\pi^2n^2}$. При выполнении этого неравенства монета будет покоиться относительно диска и $F_{\text{тр}} = 4\pi^2mrn^2$ (трение покоя). Если указанное неравенство не выполняется, т. е. $r > \frac{\mu g}{4\pi^2n^2}$, монета будет скользить по диску; при этом $F_{\text{тр}} = \mu mg$. Таким образом, $F_{\text{тр}} = 4\pi^2mrn^2$ при $r \le \frac{\mu g}{4\pi^2n^2}$ (трение покоя), $F_{\text{тр}} = \mu mg$ при $r > \frac{\mu g}{4\pi^2n^2}$ (трение скольжения).

Решение.

Дано:

масса монеты: $m$
расстояние от оси вращения: $r$
частота вращения диска: $n$
коэффициент трения: $\mu$
ускорение свободного падения: $g$

Величины даны в буквенном виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Зависимость силы трения $F_{тр}$ от расстояния $r$, то есть функцию $F_{тр}(r)$.

Решение:

На монету, находящуюся на вращающемся диске, в горизонтальной плоскости действует только одна сила — сила трения $F_{тр}$, которая направлена к центру вращения. Эта сила сообщает монете центростремительное ускорение $a_ц$, необходимое для движения по окружности.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тр} = m a_ц$

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $r$ соотношением $a_ц = \omega^2 r$. Угловая скорость $\omega$ выражается через частоту вращения $n$ (количество оборотов в секунду) как $\omega = 2\pi n$.

Подставив выражение для $\omega$ в формулу для ускорения, получим:

$a_ц = (2\pi n)^2 r = 4\pi^2 n^2 r$

Таким образом, для того чтобы монета вращалась вместе с диском, на нее должна действовать сила трения покоя, равная:

$F_{тр} = m a_ц = 4\pi^2 m n^2 r$

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения $F_{тр.max}$. Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$ и коэффициенту трения $\mu$:

$F_{тр.max} = \mu N$

Поскольку диск горизонтален, сила нормальной реакции опоры $N$ уравновешивает силу тяжести $mg$: $N = mg$. Следовательно:

$F_{тр.max} = \mu mg$

Рассмотрим два возможных случая.

1. Монета покоится относительно диска (не скользит).
Это возможно, пока требуемая центростремительная сила не превышает максимальную силу трения покоя:

$F_{тр} \le F_{тр.max}$
$4\pi^2 m n^2 r \le \mu mg$

Из этого неравенства найдем предельное расстояние $r$, при котором скольжение еще не начинается:

$r \le \frac{\mu mg}{4\pi^2 m n^2} = \frac{\mu g}{4\pi^2 n^2}$

В этом случае ($r \le \frac{\mu g}{4\pi^2 n^2}$) сила трения покоя в точности равна необходимой центростремительной силе:

$F_{тр} = 4\pi^2 m n^2 r$

2. Монета скользит по диску.
Если расстояние $r$ превышает критическое значение, то есть $r > \frac{\mu g}{4\pi^2 n^2}$, максимальной силы трения покоя становится недостаточно для удержания монеты. Монета начинает скользить.

В этом случае на монету действует сила трения скольжения, которая постоянна и равна:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg$

Таким образом, мы получили искомую зависимость силы трения от расстояния.

Ответ:

Зависимость силы трения, действующей на монету, от расстояния $r$ до оси вращения имеет следующий вид:

$F_{тр} = 4\pi^2 m n^2 r$ при $r \le \frac{\mu g}{4\pi^2 n^2}$ (трение покоя).

$F_{тр} = \mu mg$ при $r > \frac{\mu g}{4\pi^2 n^2}$ (трение скольжения).