Номер 25, страница 46 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 6. Сила упругости. Сила трения. Динамика. Механика - номер 25, страница 46.

Условие.

O-25. На горизонтальном участке дороги от равномерно движущегося поезда массой $M = 1000$ т оторвался последний вагон массой $m = 40$ т, проехал расстояние $s_{\text{в}} = 200$ м и остановился. Какое расстояние $s_{\text{п}}$ проехал поезд за время торможения вагона? Решите задачу в двух случаях: а) неизменной осталась скорость поезда; б) неизменной осталась сила тяги локомотива. В обоих случаях считайте, что сила сопротивления пропорциональна массе.

☑ а) 400 м; б) 408 м.

Решение. Случай а уже рассмотрен в задаче 2.1. Случай б существенно сложнее, потому что после отрыва вагона поезд движется с ускорением (сила тяги не изменилась, а сила сопротивления движению уменьшилась). Ускорение $a_{\text{п}}$ оставшейся части поезда можно найти из второго закона Ньютона: $(M - m)a_{\text{п}} = F_{\text{т}} - \mu(M - m)g$, где $F_{\text{т}}$ — сила тяги, а $\mu$ — коэффициент сопротивления. Заметим теперь, что при равномерном движении целого поезда сила тяги как раз уравновешивалась силой сопротивления, т. е. $F_{\text{т}} = \mu Mg$. Поэтому для ускорения поезда получаем $a_{\text{п}} = \mu g \frac{m}{M - m}$. Отцепленный вагон движется с ускорением $a_{\text{в}} = -\mu g$. За время $\text{t}$ торможения вагона поезд проедет расстояние $s_{\text{п}} = v_0 t + \frac{a t^2}{2}$. Для его нахождения воспользуемся тем, что $s_{\text{в}} = v_0 t / 2 = |a_{\text{в}}| t^2 / 2$. Из этих соотношений следует, что первое слагаемое в формуле для $s_{\text{п}}$ равно $2s_{\text{в}}$, а второе $s_{\text{в}} a_{\text{п}} / |a_{\text{в}}|$.

Следовательно, $s_{\text{п}} = s_{\text{в}} \left(2 + \frac{a_{\text{п}}}{|a_{\text{в}}|}\right) = s_{\text{в}} \left(2 + \frac{m}{M - m}\right) = 408 \text{ (м).}$

Решение.

Дано:

Масса поезда $M = 1000$ т

Масса вагона $m = 40$ т

Расстояние, которое проехал вагон до остановки $s_в = 200$ м

Начальное движение поезда - равномерное.

Сила сопротивления пропорциональна массе.

$M = 1000 \text{ т} = 10^6 \text{ кг}$
$m = 40 \text{ т} = 40 \cdot 10^3 \text{ кг}$
$s_в = 200 \text{ м}$

Найти:

$s_п$ - расстояние, которое проехал поезд за время торможения вагона, в двух случаях:

а) скорость поезда не изменилась;

б) сила тяги локомотива не изменилась.

Решение:

Обозначим начальную скорость поезда (до отрыва вагона) как $v_0$. Поскольку поезд двигался равномерно, сила тяги локомотива $F_т$ была равна суммарной силе сопротивления $F_{сопр. M}$. Сила сопротивления пропорциональна массе, то есть $F_{сопр} = \mu \cdot m_{тела} \cdot g$, где $\mu$ – коэффициент сопротивления. Таким образом, до отрыва $F_т = \mu M g$.

После отрыва на вагон действует только сила сопротивления $F_{сопр. в} = \mu m g$. По второму закону Ньютона, ускорение вагона $a_в$ равно:

$m a_в = -F_{сопр. в} \implies a_в = -\mu g$

Путь, пройденный вагоном до остановки ($v_к = 0$), можно найти по формуле $s_в = \frac{v_0 + v_к}{2} t$, где $t$ - время торможения. Отсюда:

$s_в = \frac{v_0 t}{2}$

Это соотношение будет ключевым для решения обеих частей задачи.

а) неизменной осталась скорость поезда

Если скорость поезда осталась постоянной и равной $v_0$, то за время торможения вагона $t$ поезд пройдет расстояние:

$s_{п(а)} = v_0 t$

Из найденного ранее соотношения для вагона $s_в = \frac{v_0 t}{2}$ выразим $v_0 t$:

$v_0 t = 2 s_в$

Следовательно, путь поезда равен:

$s_{п(а)} = 2 s_в = 2 \cdot 200 \text{ м} = 400 \text{ м}$

Ответ: 400 м.

б) неизменной осталась сила тяги локомотива

Сила тяги локомотива остается такой же, как и до отрыва вагона: $F_т = \mu M g$.

Масса поезда после отрыва стала $M - m$. Сила сопротивления для оставшейся части поезда равна $F'_{сопр} = \mu (M-m) g$.

Поскольку $F_т > F'_{сопр}$, поезд будет двигаться с ускорением $a_п$. Найдем его из второго закона Ньютона:

$(M-m) a_п = F_т - F'_{сопр} = \mu M g - \mu(M-m)g = \mu m g$

Отсюда ускорение поезда:

$a_п = \frac{\mu m g}{M-m}$

Путь, который пройдет поезд за время торможения вагона $t$, определяется по формуле для равноускоренного движения:

$s_{п(б)} = v_0 t + \frac{a_п t^2}{2}$

Мы знаем, что первый член $v_0 t = 2s_в$. Для нахождения второго члена воспользуемся тем, что для вагона $v_0^2 = 2|a_в|s_в = 2\mu g s_в$ и $t^2 = (\frac{2s_в}{v_0})^2 = \frac{4s_в^2}{v_0^2}$.

$\frac{a_п t^2}{2} = \frac{a_п}{2} \frac{4s_в^2}{v_0^2} = \frac{2 a_п s_в^2}{2 \mu g s_в} = \frac{a_п s_в}{\mu g}$

Подставим выражение для $a_п$:

$\frac{a_п s_в}{\mu g} = \frac{\mu m g}{M-m} \frac{s_в}{\mu g} = s_в \frac{m}{M-m}$

Теперь сложим оба члена для пути поезда:

$s_{п(б)} = 2s_в + s_в \frac{m}{M-m} = s_в \left(2 + \frac{m}{M-m}\right)$

Подставим числовые значения:

$s_{п(б)} = 200 \left(2 + \frac{40}{1000 - 40}\right) = 200 \left(2 + \frac{40}{960}\right) = 200 \left(2 + \frac{1}{24}\right) = 200 \cdot \frac{49}{24} \approx 408.33 \text{ м}$

Округляя до целых, получаем 408 м.

Ответ: 408 м.