Номер 26, страница 47 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 6. Сила упругости. Сила трения. Динамика. Механика - номер 26, страница 47.

Условие.

O-26. Кирпич массой $\text{m}$ лежит на горизонтальном столе. Коэффициент трения между кирпичом и столом равен $\mu$. К кирпичу приложена горизонтальная сила $\vec{F}$. а) Выразите аналитически и графически зависимость силы трения $F_{\text{тр}}$ и ускорения кирпича $\text{a}$ от модуля силы $\vec{F}$. б) Сделайте то же самое, когда сила $\vec{F}$ направлена под углом $\alpha$ к плоскости стола (учитывая случаи $\alpha > 0$ и $\alpha < 0$).

Решение. а) Кирпич остается неподвижным, пока сила $\text{F}$ не превысит максимальной величины силы трения покоя, равной $\mu mg$. При этом сила трения покоя в точности уравновешивает силу $\vec{F}$, т. е. $F_{\text{тр}} = F$.

При дальнейшем увеличении силы $\text{F}$ кирпич сдвинется, и мы будем иметь дело с силой трения скольжения, равной $\mu mg$ и не зависящей от $\text{F}$. При этом $F - \mu mg = ma$. Итак,

$ \begin{cases} F_{\text{тр}} = F, & F < \mu mg; \\ F_{\text{тр}} = \mu mg, & F > \mu mg. \end{cases} \quad \begin{cases} a = 0, & F < \mu mg; \\ a = \frac{F}{m} - \mu g, & F > \mu mg. \end{cases} $

Графики приведены на рисунках а и б.

б) Поскольку в этом случае сила $\text{F}$ направлена под углом к горизонту, величина силы нормального давления изменяется; это, в свою очередь, сказывается на силе трения.

Проецируя уравнение второго закона Ньютона $\vec{F} + \vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$ на оси координат, получаем: $F \cos\alpha - F_{\text{тр}} = ma$, $F\sin\alpha + N - mg = 0$.

Отсюда $N = mg - F\sin\alpha$ (очевидно, кирпич не отрывается от стола при условии $F\sin\alpha \leq mg$). Пока кирпич неподвижен (при небольших $\text{F}$): $a = 0, F_{\text{тр}} = F\cos\alpha$. Это возможно, если $F_{\text{тр}} \leq \mu N$, т. е. $F\cos\alpha \leq \mu(mg - F\sin\alpha)$. Последнее неравенство можно записать в виде $F \leq \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}$.

Обозначим $F_0 = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}$.

$ \begin{cases} F_{\text{тр}} = F\cos\alpha, & a=0 & (F \le F_0); \\ F_{\text{тр}} = \mu(mg - F\sin\alpha), & a = \mu g \frac{(F - F_0)}{F_0} & \left(F_0 < F \le \frac{mg}{\sin\alpha}\right). \end{cases} $

При $\alpha > 0$, т. е. когда сила направлена под углом вверх, должно выполняться условие $F \leq mg/\sin\alpha$, иначе кирпич оторвется от стола. Графики см. на рисунках в и г. При $\alpha < 0$, когда сила направлена под углом вниз, возможно «заклинивание»: кирпич не сдвинется с места при сколь угодно большой силе, если $\mu \operatorname{tg}|\alpha| \ge 1$. Графики см. на рисунках д и е.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Рис. г

Рис. д

Рис. е

Решение.

Дано:

Масса кирпича: $m$
Коэффициент трения: $\mu$
Приложенная сила: $\vec{F}$
Угол приложения силы к горизонту: $\alpha$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Аналитическую и графическую зависимость силы трения $F_{тр}$ и ускорения $a$ от модуля силы $F$.

Решение:

а) Сила $\vec{F}$ направлена горизонтально.

В этом случае на кирпич действуют четыре силы: приложенная сила $\vec{F}$, сила трения $\vec{F}_{тр}$, сила тяжести $m\vec{g}$ и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$. Выберем систему координат: ось Ox направим горизонтально по направлению силы $\vec{F}$, а ось Oy — вертикально вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

Oy: $N - mg = 0 \implies N = mg$

Ox: $F - F_{тр} = ma$

Рассмотрим два режима движения:

1. Кирпич покоится. Это возможно, пока приложенная сила $F$ не превышает максимальную силу трения покоя, $F_{тр.пок.макс} = \mu N = \mu mg$. В этом режиме ускорение $a=0$, а сила трения покоя уравновешивает внешнюю силу: $F_{тр} = F$. Таким образом, при $F \le \mu mg$ имеем $a=0$ и $F_{тр} = F$.

2. Кирпич скользит. Этот режим наступает, когда $F > \mu mg$. Сила трения становится силой трения скольжения и равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg$. Ускорение находим из уравнения для оси Ox: $F - \mu mg = ma \implies a = \frac{F - \mu mg}{m} = \frac{F}{m} - \mu g$.

Ответ:

Аналитические зависимости имеют вид:

$F_{тр} = \begin{cases} F, & \text{если } F \le \mu mg \\ \mu mg, & \text{если } F > \mu mg \end{cases}$

$a = \begin{cases} 0, & \text{если } F \le \mu mg \\ \frac{F}{m} - \mu g, & \text{если } F > \mu mg \end{cases}$

Графики зависимостей: для $F_{тр}(F)$ — отрезок прямой, идущий из начала координат под углом 45°, до точки $(\mu mg, \mu mg)$, а затем горизонтальная прямая. Для $a(F)$ — нулевое значение до $F = \mu mg$, а затем линейный рост с наклоном $1/m$.

б) Сила $\vec{F}$ направлена под углом $\alpha$ к горизонту.

Разложим силу $\vec{F}$ на горизонтальную $F_x = F \cos\alpha$ и вертикальную $F_y = F \sin\alpha$ составляющие. Второй закон Ньютона в проекциях на оси:

Oy: $N + F \sin\alpha - mg = 0 \implies N = mg - F \sin\alpha$

Ox: $F \cos\alpha - F_{тр} = ma$

Сила нормальной реакции $N$ зависит от приложенной силы $F$. Кирпич не оторвется от поверхности, пока $N \ge 0$, то есть $F \sin\alpha \le mg$.

1. Кирпич покоится ($a=0$). Это происходит, пока горизонтальная составляющая силы $F_x$ не превышает максимальную силу трения покоя $F_{тр.пок.макс} = \mu N$.

$F_{тр} = F \cos\alpha$

Условие покоя: $F \cos\alpha \le \mu (mg - F \sin\alpha)$.

$F(\cos\alpha + \mu \sin\alpha) \le \mu mg \implies F \le \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$

Обозначим пороговую силу $F_0 = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$. Пока $F \le F_0$, кирпич покоится.

2. Кирпич скользит ($a>0$). Это происходит при $F > F_0$. Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N = \mu(mg - F \sin\alpha)$.

Подставим в уравнение для оси Ox: $F \cos\alpha - \mu(mg - F \sin\alpha) = ma$.

$a = \frac{F(\cos\alpha + \mu \sin\alpha) - \mu mg}{m} = \frac{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}{m}(F - F_0)$

Рассмотрим случаи для угла $\alpha$:

Случай 1: $\alpha > 0$ (сила направлена вверх).

Все выведенные формулы корректны. Движение возможно в диапазоне сил $F_0 < F \le \frac{mg}{\sin\alpha}$. При $F > \frac{mg}{\sin\alpha}$ кирпич отрывается от стола, и сила трения становится равной нулю.

Случай 2: $\alpha < 0$ (сила направлена вниз).

Пусть $\alpha = -|\alpha|$. Тогда $\sin\alpha = -\sin|\alpha|$ и $\cos\alpha = \cos|\alpha|$.

Пороговая сила: $F_0 = \frac{\mu mg}{\cos|\alpha| - \mu \sin|\alpha|}$.

Знаменатель может стать неположительным. Если $\cos|\alpha| - \mu \sin|\alpha| \le 0$, что эквивалентно $\mu \tan|\alpha| \ge 1$, то $F_0$ становится бесконечной или отрицательной. Это означает, что условие начала движения $F > F_0$ никогда не будет выполнено. Происходит "заклинивание": как бы ни была велика сила $F$, она не сможет сдвинуть кирпич. В этом случае $a=0$ всегда, а $F_{тр} = F \cos|\alpha|$.

Если же $\mu \tan|\alpha| < 1$, то движение возможно при $F > F_0$.

Ответ:

Обозначим $F_0 = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$.

При $\alpha > 0$: (движение возможно до отрыва при $F = mg/\sin\alpha$)

$F_{тр} = \begin{cases} F\cos\alpha, & \text{если } F \le F_0 \\ \mu(mg - F\sin\alpha), & \text{если } F_0 < F \le \frac{mg}{\sin\alpha} \end{cases}$

$a = \begin{cases} 0, & \text{если } F \le F_0 \\ \frac{F(\cos\alpha + \mu \sin\alpha) - \mu mg}{m}, & \text{если } F_0 < F \le \frac{mg}{\sin\alpha} \end{cases}$

При $\alpha < 0$:

- Если $\mu \tan|\alpha| \ge 1$ (заклинивание):

$F_{тр} = F\cos|\alpha|$ для любого $F$.

$a = 0$ для любого $F$.

- Если $\mu \tan|\alpha| < 1$:

$F_{тр} = \begin{cases} F\cos|\alpha|, & \text{если } F \le F_0 \\ \mu(mg + F\sin|\alpha|), & \text{если } F > F_0 \end{cases}$

$a = \begin{cases} 0, & \text{если } F \le F_0 \\ \frac{F(\cos|\alpha| - \mu \sin|\alpha|) - \mu mg}{m}, & \text{если } F > F_0 \end{cases}$

Графически зависимости для $\alpha>0$ показывают, что сила трения сначала растет, а после начала движения убывает. Для $\alpha<0$ (без заклинивания) сила трения после начала движения продолжает расти. Ускорение во всех случаях, когда движение возможно, начинает расти линейно после достижения пороговой силы $F_0$.