Номер 6.6, страница 45 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 6. Сила упругости. Сила трения. Упражнения - номер 6.6, страница 45.

Условие.

6.6. Угол $\alpha$ наклона плоскости постепенно увеличивают от 0 до $90^\circ$. На плоскости находится брусок массой $\text{m}$. Коэффициент трения равен $\mu$. Постройте график зависимости силы трения $F_{тр}$ от угла $\alpha$. Чему равно максимальное значение силы трения $F_{\text{max}}$?

Решение. При малых углах $\alpha$ ящик останется в покое, а при больших углах будет соскальзывать. В первом случае действует сила трения покоя, во втором — сила трения скольжения. В первом случае $F_{тр} = mg \sin \alpha$. Этот случай реализуется при $\operatorname{tg} \alpha \le \mu$ (заметим, что при $\operatorname{tg} \alpha = \mu$ возможно движение с постоянной скоростью). При $\operatorname{tg} \alpha > \mu$ тело соскальзывает с ускорением; сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$. Таким образом, получаем $F_{тр} = mg \sin \alpha$ при $\alpha \le \operatorname{arctg} \mu$ и $F_{тр} = \mu mg \cos \alpha$ при $\alpha > \operatorname{arctg} \mu$. График зависимости $F_{тр}(\alpha)$ см. на рисунке. Из формулы $\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha / \sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}$ следует, что максимальное значение силы трения $F_{\text{max}} = \mu mg / \sqrt{1+\mu^2}$.

Решение.

Дано:

Масса бруска: $m$

Коэффициент трения: $\mu$

Угол наклона плоскости: $\alpha$, где $\alpha \in [0, 90^\circ]$

Найти:

1. Построить график зависимости силы трения $F_{тр}$ от угла $\alpha$.

2. Найти максимальное значение силы трения $F_{max}$.

Решение:

На брусок, находящийся на наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$ и сила трения $F_{тр}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, направленные вдоль и перпендикулярно наклонной плоскости. Ось $Ox$ направим вдоль плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно плоскости вверх.

$Ox: mg \sin\alpha - F_{тр} = ma$

$Oy: N - mg \cos\alpha = 0 \implies N = mg \cos\alpha$

Рассмотрим два случая поведения бруска в зависимости от угла наклона $\alpha$.

1. Брусок находится в покое ($a=0$).

Это происходит, пока скатывающая сила $mg \sin\alpha$ не превышает максимальную силу трения покоя $F_{тр.пок.max} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Из условия равновесия вдоль оси $Ox$ ($a=0$) следует, что сила трения покоя уравновешивает скатывающую силу:

$F_{тр} = mg \sin\alpha$

Условие, при котором брусок остается в покое:

$mg \sin\alpha \le \mu mg \cos\alpha$

$\tan\alpha \le \mu$

Следовательно, пока угол $\alpha \le \arctan\mu$, брусок покоится, и сила трения растет по синусоидальному закону $F_{тр} = mg \sin\alpha$.

2. Брусок скользит ($a > 0$).

Это происходит, когда угол наклона становится больше критического, то есть $\alpha > \arctan\mu$. В этом случае на брусок действует сила трения скольжения, которая постоянна при заданном угле и равна:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$

При увеличении угла $\alpha$ в этом диапазоне, сила трения скольжения будет уменьшаться по косинусоидальному закону.

Таким образом, зависимость силы трения от угла является кусочно-заданной функцией:

$F_{тр}(\alpha) = \begin{cases} mg \sin\alpha, & \text{если } 0 \le \alpha \le \arctan\mu \\ \mu mg \cos\alpha, & \text{если } \arctan\mu < \alpha \le 90^\circ \end{cases}$

Постройте график зависимости силы трения F_тр от угла α.

График состоит из двух частей. Первая часть (до $\alpha = \arctan\mu$) — это участок синусоиды, где сила трения растет от 0 до своего максимального значения. Вторая часть (после $\alpha = \arctan\mu$) — это участок косинусоиды, где сила трения уменьшается.

Ответ: График зависимости $F_{тр}(\alpha)$ представлен на рисунке выше.

Чему равно максимальное значение силы трения F_max?

Максимальное значение силы трения достигается в момент начала скольжения, то есть при угле $\alpha = \arctan\mu$. Для нахождения этого значения можно подставить данный угол в любую из формул для силы трения, так как в этой точке они дают одинаковый результат.

Воспользуемся формулой для силы трения покоя: $F_{max} = F_{тр}(\arctan\mu) = mg \sin(\arctan\mu)$.

Используем тригонометрическое тождество, связывающее синус и тангенс: $\sin\alpha = \frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$.

Подставим $\alpha = \arctan\mu$, тогда $\tan\alpha = \mu$.

$F_{max} = mg \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$

Ответ: Максимальное значение силы трения равно $F_{max} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}}$.