Номер 23, страница 42 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 5. Законы Ньютона. Динамика. Механика - номер 23, страница 42.

Условие.

O-23. Брусок массой $\text{M}$ находится на гладком горизонтальном столе, по которому он может двигаться без трения. На бруске стоит куб массой $\text{m}$, упирающийся в небольшой выступ $\text{O}$ (см. рисунок). При каком минимальном значении модуля силы $\vec{F}$, приложенной к бруску, нижняя грань куба оторвется от бруска?

☑ $ F = (M + m)g.$

Решение. При максимально возможном ускорении $\text{a}$ бруска кубик опирается на него в точке $\text{O}$. В этой точке (см. рисунок) на кубик действует сила реакции $\vec{N}$ бруска и горизонтальная сила $\vec{F}_1$, сообщающая бруску ускорение $\vec{a}$. Очевидно, что $\vec{F}_1 = m\vec{a}$ и $\vec{N} + m\vec{g} = 0$.

Для того чтобы кубик не начал вращаться вокруг точки $\text{O}$, равнодействующая всех сил, действующих на него, должна проходить через центр масс кубика. Это означает, что равнодействующая сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_1$ образует с горизонталью угол $45^\circ$, т. е. $F_1 = N$, или $ma = mg$.

Отсюда $a = g$. Для того, чтобы брусок и кубик двигались с таким горизонтальным ускорением, на брусок должна действовать сила $\vec{F} = (M + m)\vec{a}$, или (по модулю):

$F = (M + m)g$.

Решение.

Дано:

Масса бруска: $M$

Масса куба: $m$

Ускорение свободного падения: $g$

Трение между столом и бруском отсутствует.

Найти:

Минимальное значение модуля силы $\vec{F}$, при котором нижняя грань куба оторвется от бруска.

Решение:

Под действием внешней силы $\vec{F}$ система, состоящая из бруска и куба, движется с одинаковым горизонтальным ускорением $\vec{a}$.

Рассмотрим силы, действующие на куб массой $m$. На него действуют:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс куба.
2. Сила реакции со стороны бруска. В предельном случае, когда куб вот-вот начнет отрываться от поверхности бруска (опрокидываться), он будет опираться только на ребро в точке О. Эту силу реакции можно разложить на две компоненты:
   • Вертикальная компонента (сила нормальной реакции) $\vec{N}$, направленная вверх.
   • Горизонтальная компонента $\vec{F_1}$, направленная вправо. Эта сила, действующая со стороны выступа, и сообщает кубу ускорение $\vec{a}$.

Запишем второй закон Ньютона для куба в проекциях на горизонтальную (X) и вертикальную (Y) оси:

Ось X: $F_1 = ma$ (1)

Ось Y: $N - mg = 0 \implies N = mg$ (2)

Отрыв куба от бруска означает начало его вращения (опрокидывания) вокруг точки О. Условием начала опрокидывания является равенство моментов сил, стремящихся повернуть тело по часовой стрелке и против часовой стрелки, относительно центра масс куба. Пусть сторона куба равна $L$. Тогда точка О находится на расстоянии $L/2$ по горизонтали и $L/2$ по вертикали от центра масс.

Момент силы $\vec{N}$ относительно центра масс: $M_N = N \cdot \frac{L}{2}$ (стремится повернуть куб против часовой стрелки).

Момент силы $\vec{F_1}$ относительно центра масс: $M_{F_1} = F_1 \cdot \frac{L}{2}$ (стремится повернуть куб по часовой стрелке).

В момент начала опрокидывания моменты равны:

$M_N = M_{F_1} \implies N \cdot \frac{L}{2} = F_1 \cdot \frac{L}{2}$

Отсюда получаем условие для сил:

$N = F_1$ (3)

Теперь подставим в равенство (3) выражения для сил из уравнений (1) и (2):

$mg = ma$

Из этого уравнения находим минимальное ускорение, при котором начнется отрыв куба:

$a = g$

Чтобы сообщить всей системе (брусок + куб) с общей массой $(M+m)$ такое ускорение, необходимо приложить силу $\vec{F}$. Согласно второму закону Ньютона для всей системы:

$F = (M + m)a$

Подставляя найденное значение ускорения $a=g$, получаем искомую минимальную силу:

$F = (M + m)g$

Ответ: $F = (M+m)g$