Номер 5.4, страница 41 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 5. Законы Ньютона. Упражнения - номер 5.4, страница 41.

Условие.

5.4. В вагоне поезда, движущегося со скоростью $v = 72$ км/ч, взвешивают на пружинных весах тело массой $m = 5,0$ кг. Найдите показание $\text{P}$ пружинных весов, когда поезд движется по закруглению радиусом $R = 400$ м.

$\checkmark P = m\sqrt{g^2 + \left(\frac{v^2}{R}\right)^2} = 49,25$ Н.

Решение.

Груз вместе с вагоном движется на повороте с ускорением $a = \frac{v^2}{R}$, направленным горизонтально (к центру поворота).

Это ускорение сообщает грузу равнодействующая силы тяжести $\vec{mg}$ и силы $\vec{F}$ упругости пружины (см. рисунок):

$\vec{mg} + \vec{F} = m\vec{a}$. Из рисунка видно, что $F = \sqrt{(mg)^2 + (ma)^2}$.

Согласно третьему закону Ньютона, $P = F$,

откуда $P = m\sqrt{g^2 + \left(\frac{v^2}{R}\right)^2} = 49,25$ (Н), что на $0,25$ Н превышает вес груза при движении без ускорения.

Решение.

Дано

$v = 72 \text{ км/ч} = 20 \text{ м/с}$
$m = 5,0 \text{ кг}$
$R = 400 \text{ м}$

Найти:

$P$

Решение

На тело, взвешиваемое в вагоне, действуют две силы: сила тяжести $ \vec{F}_g = m\vec{g} $, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины весов $ \vec{F}_{упр} $. Показание весов $ P $ равно модулю силы упругости: $ P = |\vec{F}_{упр}| $.

Когда поезд движется по закруглению, он вместе с телом обладает центростремительным ускорением $ \vec{a} $, которое направлено горизонтально к центру поворота. По второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, сообщает ему это ускорение:

$ m\vec{g} + \vec{F}_{упр} = m\vec{a} $

Сила упругости $ \vec{F}_{упр} $ является векторной суммой $ m\vec{a} $ и $ -m\vec{g} $. Поскольку вектор центростремительной силы $ m\vec{a} $ направлен горизонтально, а вектор силы тяжести $ m\vec{g} $ — вертикально, эти два вектора взаимно перпендикулярны. Модуль силы упругости $ P $ (показание весов) можно найти по теореме Пифагора:

$ P = F_{упр} = \sqrt{(mg)^2 + (ma)^2} $

Модуль центростремительного ускорения вычисляется по формуле $ a = \frac{v^2}{R} $.

Подставляя выражение для ускорения в формулу для $ P $, получаем:

$ P = m \sqrt{g^2 + (\frac{v^2}{R})^2} $

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $ g \approx 9,8 \text{ м/с}^2 $:

$ P = 5,0 \text{ кг} \cdot \sqrt{(9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})^2 + (\frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{400 \text{ м}})^2} = 5,0 \cdot \sqrt{96,04 + (\frac{400}{400})^2} \text{ Н} $

$ P = 5,0 \cdot \sqrt{96,04 + 1^2} \text{ Н} = 5,0 \cdot \sqrt{97,04} \text{ Н} \approx 5,0 \cdot 9,851 \text{ Н} \approx 49,25 \text{ Н} $

Ответ: показание пружинных весов равно приблизительно $49,25 \text{ Н}$.