Номер 17, страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 4. Равномерное движение по окружности. Кинематика. Механика - номер 17, страница 37.

Условие.

О7. С какой скоростью $\text{v}$ должен ехать автомобиль, чтобы сорвавшийся с его колеса в точке А камешек (см. рисунок) попал в ту же точку колеса, от которой оторвался? Радиус колеса $R = 20$ см.

☑ $2,5 \cdot \sqrt{k}$ м/с.

Решение. Задачу естественно решать в системе отсчета, связанной с автомобилем, где точки обода колеса движутся по окружности со скоростью $\text{v}$. В этой системе камешек начнет двигаться вертикально вверх именно с такой скоростью. За полное время его полета $t = \frac{2v}{g}$ колесо должно совершить целое число $\text{k}$ оборотов, т. е. $t = k \cdot \frac{2\pi R}{v}$.

Отсюда $v = \sqrt{k \cdot \pi g R} \approx 2,5 \cdot \sqrt{k}$ (м/с). Подходящих значений скорости довольно много. Даже при $k = 100$ получаем вполне реальное значение скорости (около $90$ км/ч).

Решение.

Дано:

Радиус колеса $R = 20$ см

В системе СИ:

$R = 0.2$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (для упрощения и соответствия числовому ответу в задаче).

Найти:

Скорость автомобиля $v$.

Решение:

Задачу удобнее решать в системе отсчета, связанной с автомобилем. В этой системе отсчета ось колеса неподвижна, а точки на ободе колеса вращаются вокруг нее с линейной скоростью $v$. Точка A, находящаяся на одном уровне с осью, в момент отрыва камешка имеет скорость, направленную вертикально вверх и равную по модулю $v$.

Камешек, оторвавшись от колеса, будет двигаться под действием силы тяжести. Его движение аналогично движению тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v$. Время полета камешка до возвращения на ту же высоту, с которой он начал движение, можно найти из уравнения:

$t_{полета} = \frac{2v}{g}$

Для того чтобы камешек попал в ту же самую точку А на колесе, необходимо, чтобы за время его полета $t_{полета}$ колесо совершило целое число оборотов $k$, где $k$ - целое положительное число ($k = 1, 2, 3, ...$).

Время одного оборота колеса (период) равно $T = \frac{2\pi R}{v}$.

Время, за которое колесо совершит $k$ оборотов, равно:

$t_k = k \cdot T = k \frac{2\pi R}{v}$

Приравниваем время полета камешка и время $k$ оборотов колеса:

$t_{полета} = t_k$

$\frac{2v}{g} = k \frac{2\pi R}{v}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$2v^2 = k \cdot 2\pi R g$

$v^2 = k \pi R g$

$v = \sqrt{k \pi R g}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{k \cdot \pi \cdot 0.2 \text{ м} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \sqrt{k \cdot 2\pi} \text{ м/с}$

Поскольку $\sqrt{2\pi} \approx \sqrt{2 \cdot 3.14} = \sqrt{6.28} \approx 2.506$, то скорость можно записать как:

$v \approx 2.5 \sqrt{k} \text{ м/с}$

Таким образом, существует бесконечное множество скоростей, удовлетворяющих условию задачи, которые зависят от целого числа оборотов $k$.

Ответ: $v = \sqrt{k \pi R g} \approx 2.5\sqrt{k}$ м/с, где $k$ — любое целое положительное число ($k=1, 2, 3, \ldots$).