Номер 15, страница 33 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Кинематика. Механика - номер 15, страница 33.

Условие.

О5. Под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту брошено тело с начальной скоростью $v_0 = 20$ м/с. Через какое время $\text{t}$ модуль $\beta$ угла между скоростью тела и горизонтальной плоскостью равен $45^\circ$?

☑ $t_1 = 0,75$ с; $t_2 = 2,8$ с.

Решение. Вид траектории тела (см. рисунок) показывает, что существуют два момента времени, удовлетворяющих поставленному условию. Из уравнения $|v_y|=v_x \operatorname{tg}\beta$ с учетом соотношений $v_y=v_0\sin\alpha - gt$, и $v_x=v_0\cos\alpha$ получаем

$t=\frac{v_0}{g}(\sin\alpha \pm \operatorname{tg}\beta \cdot \cos\alpha)$

Решение.

Дано:

$ \alpha = 60^\circ $

$ v_0 = 20 $ м/с

$ \beta = 45^\circ $

$ g \approx 9.8 $ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$ t $ — время, через которое угол между скоростью тела и горизонтом будет равен $ \beta $.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, описывается уравнениями для проекций скорости на горизонтальную (Ox) и вертикальную (Oy) оси.

Горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на протяжении всего полета, так как в этом направлении не действуют силы (сопротивлением воздуха пренебрегаем):

$ v_x(t) = v_0 \cos\alpha $

Вертикальная составляющая скорости изменяется под действием силы тяжести:

$ v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt $

Угол $ \beta $, который вектор скорости образует с горизонтальной плоскостью в любой момент времени $ t $, можно найти через тангенс этого угла, который равен отношению модуля вертикальной составляющей скорости к горизонтальной:

$ \tan\beta = \frac{|v_y(t)|}{v_x(t)} $

Подставим выражения для $ v_x $ и $ v_y $ в эту формулу:

$ \tan\beta = \frac{|v_0 \sin\alpha - gt|}{v_0 \cos\alpha} $

Из этого уравнения можно выразить модуль скорости по вертикали:

$ |v_0 \sin\alpha - gt| = v_0 \cos\alpha \tan\beta $

Наличие модуля в левой части уравнения означает, что существует два момента времени, удовлетворяющих условию. Первый момент ($t_1$) соответствует движению тела вверх ($v_y > 0$), а второй ($t_2$) — движению вниз ($v_y < 0$).

1. Первый случай (тело движется вверх, $ v_y > 0 $):

$ v_0 \sin\alpha - gt_1 = v_0 \cos\alpha \tan\beta $

Выражаем время $ t_1 $:

$ gt_1 = v_0 \sin\alpha - v_0 \cos\alpha \tan\beta $

$ t_1 = \frac{v_0}{g}(\sin\alpha - \cos\alpha \tan\beta) $

2. Второй случай (тело движется вниз, $ v_y < 0 $):

$ -(v_0 \sin\alpha - gt_2) = v_0 \cos\alpha \tan\beta $

$ gt_2 - v_0 \sin\alpha = v_0 \cos\alpha \tan\beta $

Выражаем время $ t_2 $:

$ t_2 = \frac{v_0}{g}(\sin\alpha + \cos\alpha \tan\beta) $

Теперь подставим числовые значения из условия задачи: $ v_0 = 20 $ м/с, $ \alpha = 60^\circ $, $ \beta = 45^\circ $, $ g \approx 9.8 $ м/с².

Значения тригонометрических функций: $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = 0.5 $, $ \tan 45^\circ = 1 $.

Вычислим $ t_1 $:

$ t_1 = \frac{20}{9.8}(\sin 60^\circ - \cos 60^\circ \cdot \tan 45^\circ) = \frac{20}{9.8}(0.866 - 0.5 \cdot 1) = \frac{20 \cdot 0.366}{9.8} \approx 0.747 \text{ с} $

Вычислим $ t_2 $:

$ t_2 = \frac{20}{9.8}(\sin 60^\circ + \cos 60^\circ \cdot \tan 45^\circ) = \frac{20}{9.8}(0.866 + 0.5 \cdot 1) = \frac{20 \cdot 1.366}{9.8} \approx 2.788 \text{ с} $

Округляя полученные значения, получаем искомые моменты времени.

Ответ: $ t_1 \approx 0.75 $ с; $ t_2 \approx 2.8 $ с.