Номер 3.5, страница 27 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Упражнения - номер 3.5, страница 27.

Условие.

3.5. С высоты $\text{H}$ на горизонтальную плиту падает шарик. Постройте графики зависимости от времени проекции скорости $v_y$ (ось y направлена вверх) и высоты шарика. Соударения считайте упругими, их продолжительностью можно пренебречь.

☑ См. рис а, б.

Решение. Ось y направлена вертикально вверх; $t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

График на рис. б состоит из участков парабол.

Рис. б

Решение.

Дано:

Начальная высота шарика: $H$
Начальная скорость: $v_{y0} = 0$
Ускорение свободного падения: $g$
Соударения: абсолютно упругие
Ось $y$ направлена вертикально вверх, начало отсчета ($y=0$) на поверхности плиты.

Найти:

Построить графики зависимости от времени:
1. Проекции скорости $v_y$.
2. Высоты шарика $h$.

Решение:

Запишем общие уравнения для движения тела под действием силы тяжести, направив ось $y$ вертикально вверх:
Проекция скорости: $v_y(t) = v_{y0} - gt$
Высота (координата y): $h(t) = h_0 + v_{y0}t - \frac{gt^2}{2}$

1. Падение ($0 \le t \le t_1$)
В начальный момент времени $t=0$ имеем: $h_0 = H$ и $v_{y0} = 0$.
Уравнения движения принимают вид:
$v_y(t) = -gt$
$h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$
Первое соударение с плитой произойдет в момент времени $t_1$, когда высота станет равной нулю: $h(t_1) = 0$.
$H - \frac{gt_1^2}{2} = 0 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
Скорость шарика в этот момент (непосредственно перед ударом):
$v_y(t_1) = -gt_1 = -g\sqrt{\frac{2H}{g}} = -\sqrt{2gH}$.

2. Соударение
По условию, соударение абсолютно упругое. Это значит, что кинетическая энергия сохраняется, и при ударе о массивную неподвижную плиту скорость шарика мгновенно меняет направление на противоположное, сохраняя свою величину.
Скорость сразу после удара: $v_y(t_1^+) = -v_y(t_1) = \sqrt{2gH}$.

3. Движение после первого соударения ($t_1 < t \le 3t_1$)
После отскока шарик начинает движение вверх от плиты ($h_0 = 0$) с начальной скоростью $v_{y0}' = \sqrt{2gH}$. Время подъема до максимальной высоты $H$ равно времени падения с этой высоты, то есть $t_1$. Таким образом, шарик достигнет максимальной высоты в момент времени $t_{peak} = t_1 + t_1 = 2t_1$.
Затем он снова падает на плиту, и это падение также займет время $t_1$. Второе соударение произойдет в момент $t_2 = t_{peak} + t_1 = 2t_1 + t_1 = 3t_1$.
Полный цикл (отскок от плиты, подъем на высоту H и падение обратно) занимает время $\Delta t = 2t_1$.
Скорость перед вторым ударом снова будет равна $-\sqrt{2gH}$.
Движение становится периодическим с периодом $T = 2t_1$.

На основе полученных данных построим графики.

Проекция скорости $v_y$

График зависимости проекции скорости от времени строится следующим образом:
- В интервале $[0, t_1]$ скорость линейно убывает от $0$ до $-\sqrt{2gH}$ по закону $v_y(t) = -gt$.
- В момент $t_1$ происходит скачок скорости до $+\sqrt{2gH}$.
- Далее, в каждом интервале времени длительностью $2t_1$ (например, от $t_1$ до $3t_1$), скорость линейно убывает от $+\sqrt{2gH}$ до $-\sqrt{2gH}$. Уравнение на этом участке: $v_y(t) = \sqrt{2gH} - g(t - t_1)$.
- Этот процесс повторяется периодически. График имеет вид пилообразной волны.

Ответ: График зависимости $v_y(t)$ представляет собой последовательность отрезков прямых с тангенсом угла наклона, равным $-g$. В начальный момент $v_y(0)=0$. В моменты времени $t_n = (2n-1)t_1$ для $n \ge 1$, где $t_1 = \sqrt{2H/g}$, происходят разрывы: скорость мгновенно изменяется со значения $-\sqrt{2gH}$ на $+\sqrt{2gH}$.

Высота шарика

График зависимости высоты шарика от времени строится следующим образом:
- В интервале $[0, t_1]$ высота изменяется по закону параболы $h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$. График начинается в точке $(0, H)$ и заканчивается в $(t_1, 0)$.
- В интервале $[t_1, 3t_1]$ шарик поднимается на высоту $H$ и опускается обратно. График представляет собой параболу, начинающуюся в $(t_1, 0)$, достигающую вершины в $(2t_1, H)$ и заканчивающуюся в $(3t_1, 0)$. Уравнение этой параболы: $h(t) = \sqrt{2gH}(t-t_1) - \frac{g(t-t_1)^2}{2}$.
- Этот параболический участок периодически повторяется с периодом $T = 2t_1$.

Ответ: График зависимости $h(t)$ представляет собой последовательность параболических арок. Первый участок от $t=0$ до $t_1 = \sqrt{2H/g}$ является частью параболы с вершиной в $(0, H)$. Последующие участки — это полные параболические арки с периодом $T = 2t_1$, которые начинаются и заканчиваются на высоте $h=0$ и достигают максимальной высоты $H$ в середине каждого периода.