Номер 9, страница 23 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Олимпиадные задачи - номер 9, страница 23.

Условие.

О-9. В момент, когда опоздавший пассажир вбежал на платформу, с ним поравнялось начало предпоследнего вагона, который прошел мимо него за время $t_1$. Последний вагон прошел мимо пассажира за время $t_2$. На сколько опоздал пассажир к отходу поезда? Поезд движется равноускоренно. Длина вагонов одинакова.

$\tau = \frac{t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2}{2(t_1 - t_2)}$

Решение. Обозначим: $L_1$ — длина поезда без двух последних вагонов; $L_2$ — длина поезда без последнего вагона; $\text{L}$ — длина всего поезда; $\text{l}$ — длина одного вагона; $\tau$ — время, на которое опоздал пассажир.

Тогда длину одного вагона мы можем выразить следующим образом: $l = L_2 - L_1$ и $l = L - L_2$. Из уравнения для равноускоренного движения запишем: $L_1 = \frac{a\tau^2}{2}$, $L_2 = \frac{a(\tau+t_1)^2}{2}$ и $L = \frac{a(\tau+t_1+t_2)^2}{2}$.

Исключая длину вагона $\text{l}$ из этих уравнений, получим: $l = \frac{a(\tau+t_1)^2}{2} - \frac{a\tau^2}{2} = \frac{a(\tau+t_1+t_2)^2}{2} - \frac{a(\tau+t_1)^2}{2}$, или $2(\tau+t_1)^2 = \tau^2 + (\tau+t_1+t_2)^2$. $2(\tau+t_1)^2 = \tau^2 + [(\tau+t_1)+t_2]^2$, откуда получаем: $= \tau^2 + (\tau+t_1)^2 + 2t_2(\tau+t_1) + t_2^2$. $\tau^2 + 2\tau t_1 + t_1^2 = \tau^2 + 2\tau t_2 + 2t_1t_2 + t_2^2$, далее $2\tau(t_1 - t_2) = t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2$.

Окончательно получаем: $\tau = \frac{t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2}{2(t_1 - t_2)}$.

Решение.

Дано:

$t_1$ – время прохождения предпоследнего вагона

$t_2$ – время прохождения последнего вагона

Движение поезда равноускоренное, начальная скорость $v_0 = 0$. Длины всех вагонов одинаковы.

Найти:

$\tau$ – время, на которое опоздал пассажир.

Решение:

Пусть поезд начинает движение в момент времени $t=0$ с ускорением $a$. Пассажир приходит на платформу в момент времени $\tau$, когда поезд уже движется. Это и есть время его опоздания. Будем считать, что пассажир стоит в точке с координатой $x=0$.

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении из состояния покоя, определяется формулой $S = \frac{at^2}{2}$.

В момент времени $\tau$, когда пассажир вбежал на платформу, с ним поравнялось начало предпоследнего вагона. Это означает, что к этому моменту некоторая часть поезда уже прошла мимо него. Обозначим эту часть как $S_1$.

Таким образом, путь, пройденный головой поезда за время $\tau$, равен $S_1 = \frac{a\tau^2}{2}$.

Предпоследний вагон прошел мимо пассажира за время $t_1$. Это значит, что конец предпоследнего вагона (и начало последнего) оказался на уровне пассажира в момент времени $\tau + t_1$. Путь, пройденный головой поезда к этому моменту, обозначим $S_2$.

$S_2 = \frac{a(\tau + t_1)^2}{2}$

Последний вагон прошел мимо пассажира за время $t_2$. Это значит, что хвост поезда поравнялся с пассажиром в момент времени $\tau + t_1 + t_2$. Полный путь, пройденный головой поезда, равен длине всего поезда $S$.

$S = \frac{a(\tau + t_1 + t_2)^2}{2}$

По условию, длина всех вагонов одинакова. Обозначим длину одного вагона как $l$.

Длину предпоследнего вагона можно выразить как разность путей $S_2$ и $S_1$:

$l = S_2 - S_1 = \frac{a(\tau + t_1)^2}{2} - \frac{a\tau^2}{2}$

Длину последнего вагона можно выразить как разность путей $S$ и $S_2$:

$l = S - S_2 = \frac{a(\tau + t_1 + t_2)^2}{2} - \frac{a(\tau + t_1)^2}{2}$

Приравняем два выражения для длины вагона $l$:

$\frac{a(\tau + t_1)^2}{2} - \frac{a\tau^2}{2} = \frac{a(\tau + t_1 + t_2)^2}{2} - \frac{a(\tau + t_1)^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{a}{2}$ (так как ускорение $a \neq 0$):

$(\tau + t_1)^2 - \tau^2 = (\tau + t_1 + t_2)^2 - (\tau + t_1)^2$

Перенесем $(\tau + t_1)^2$ из правой части в левую:

$2(\tau + t_1)^2 = \tau^2 + (\tau + t_1 + t_2)^2$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение относительно $\tau$.

$2(\tau^2 + 2\tau t_1 + t_1^2) = \tau^2 + ((\tau + t_1) + t_2)^2$

$2\tau^2 + 4\tau t_1 + 2t_1^2 = \tau^2 + (\tau + t_1)^2 + 2t_2(\tau + t_1) + t_2^2$

$2\tau^2 + 4\tau t_1 + 2t_1^2 = \tau^2 + (\tau^2 + 2\tau t_1 + t_1^2) + 2\tau t_2 + 2t_1t_2 + t_2^2$

$2\tau^2 + 4\tau t_1 + 2t_1^2 = 2\tau^2 + 2\tau t_1 + t_1^2 + 2\tau t_2 + 2t_1t_2 + t_2^2$

Сократим $2\tau^2$ в обеих частях:

$4\tau t_1 + 2t_1^2 = 2\tau t_1 + 2\tau t_2 + 2t_1t_2 + t_1^2 + t_2^2$

Сгруппируем члены, содержащие $\tau$, в левой части, а остальные — в правой:

$4\tau t_1 - 2\tau t_1 - 2\tau t_2 = 2t_1t_2 + t_1^2 + t_2^2 - 2t_1^2$

Упростим выражение:

$2\tau t_1 - 2\tau t_2 = t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2$

Вынесем $2\tau$ за скобки:

$2\tau(t_1 - t_2) = t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2$

Наконец, выразим $\tau$:

$\tau = \frac{t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2}{2(t_1 - t_2)}$

Поскольку поезд движется с ускорением, каждый следующий вагон проходит мимо наблюдателя быстрее предыдущего, поэтому $t_1 > t_2$, и знаменатель в формуле положителен.

Ответ: $\tau = \frac{t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2}{2(t_1 - t_2)}$