Номер 8, страница 22 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Олимпиадные задачи - номер 8, страница 22.

Условие.

O-8. Пункты A и B расположены на расстоянии $l = 4$ км друг от друга. Из пункта A по направлению к пункту B движется материальная точка, которая двигалась все время равномерно. Одновременно навстречу ей из пункта B с начальной скоростью $v_0 = 32$ м/с движется вторая материальная точка с постоянным ускорением $a = 0,2$ м/с$^2$, направленным все время так же, как скорость первой точки. Известно, что в пути материальные точки два раза встречались друг с другом. В каких пределах лежит скорость первой материальной точки?$8 \text{ м/с} < v_1 \leq 9 \text{ м/с}$.

Решение. Для первой и второй материальных точек можно записать уравнения для координат: $x_1 = v_1t$ и $x_2 = l-v_{02}t+\frac{at^2}{2}$. График движения первой точки — прямая линия, график движения второй — парабола (см. рисунок). Так как движение второй материальной точки равнопеременное (сначала замедленное, затем ускоренное), то она в некоторый момент времени на мгновение остановится. Из уравнения $v_2 = v_{02} - at$ находим момент остановки второй точки $t = \frac{v_{02}}{a}$.

Скорость первой точки не может быть слишком большой (прямая OAB на графике), иначе обгон совершится всего один раз (например, точка B на графике). Точка А соответствует встрече материальных точек, а не обгону.Скорость не может быть и слишком малой (прямая OC), так как эти точки вообще не смогут оказаться рядом. Материальные точки должны встречаться после момента времени $t = \frac{v_{02}}{a}$.

Таким образом, уравнение, выражающее равенство координат точек, $v_1t = l-v_{02}t+\frac{at^2}{2}$, должно иметь два действительных решения, но оба они должны соответствовать более поздним моментам времени, чем момент остановки (мгновенной) второй точки.

При $t = \frac{v_{02}}{a}$ получаем: $v_1 \frac{v_{02}}{a} = l - \frac{v_{02}^2}{a} + \frac{a v_{02}^2}{2 a^2}$, откуда следует: $v_1 = \frac{al}{v_{02}} - \frac{v_{02}}{2} = 9 \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)$.

Второй крайний случай: $\frac{at^2}{2} - t(v_{02} + v_1) + l = 0$, откуда $t = \frac{(v_{02} + v_1) \pm \sqrt{(v_{02} + v_1)^2 - 2al}}{a}$.

$t_1 = t_2$ получается при условии $(v_{02} + v_1)^2 - 2al = 0$. Отсюда $v_1 = \sqrt{2al} - v_{02} = 8 \text{ (м/с)}$.

Оба условия дают $8 \text{ м/с} < v_1 \leq 9 \text{ м/с}$.

Решение.

Дано:

Расстояние между пунктами, $l = 4$ км

Начальная скорость второй точки, $v_{02} = 32$ м/с

Ускорение второй точки, $a = 0,2$ м/с²

Точки встречаются два раза.

Перевод в систему СИ:
$l = 4 \text{ км} = 4000 \text{ м}$

Найти:

Пределы, в которых лежит скорость $v_1$ первой материальной точки.

Решение:

Введем систему отсчета, связанную с пунктом А, и направим ось ОХ в сторону пункта В. В этой системе координат начальная координата первой точки $x_{1,0} = 0$, а второй — $x_{2,0} = l$.

Первая точка движется равномерно, ее уравнение движения:

$x_1(t) = v_1 t$

Вторая точка движется из пункта В навстречу первой. Ее начальная скорость направлена против оси ОХ ($v_{02x} = -v_{02}$), а ускорение, по условию, направлено так же, как и скорость первой точки, то есть вдоль оси ОХ ($a_x = a$). Уравнение движения для второй точки:

$x_2(t) = l - v_{02} t + \frac{at^2}{2}$

Встреча материальных точек происходит, когда их координаты совпадают, то есть $x_1(t) = x_2(t)$:

$v_1 t = l - v_{02} t + \frac{at^2}{2}$

Приведем это уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно времени $t$:

$\frac{a}{2} t^2 - (v_1 + v_{02}) t + l = 0$

Согласно условию, точки встречаются дважды. Это означает, что данное квадратное уравнение должно иметь два различных положительных действительных корня.

Условием наличия двух различных действительных корней является положительность дискриминанта ($D > 0$):

$D = (v_1 + v_{02})^2 - 4 \cdot \frac{a}{2} \cdot l = (v_1 + v_{02})^2 - 2al$

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$(v_1 + v_{02})^2 - 2al > 0 \implies (v_1 + v_{02})^2 > 2al$

Так как сумма скоростей $v_1 + v_{02}$ положительна, можно извлечь корень из обеих частей:

$v_1 + v_{02} > \sqrt{2al}$

Отсюда находим нижнюю границу для скорости $v_1$:

$v_1 > \sqrt{2al} - v_{02}$

Подставим числовые значения:

$v_1 > \sqrt{2 \cdot 0,2 \cdot 4000} - 32 = \sqrt{1600} - 32 = 40 - 32 = 8$ м/с.

Таким образом, $v_1 > 8$ м/с. При $v_1 = 8$ м/с дискриминант равен нулю, что соответствует только одному моменту встречи (касание графиков), а не двум.

Теперь определим верхнюю границу. Вторая точка сначала замедляется, останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении. Время до остановки $t_{stop}$ можно найти из условия, что ее скорость станет равной нулю: $v_2(t) = -v_{02} + at = 0$.

$t_{stop} = \frac{v_{02}}{a} = \frac{32}{0,2} = 160$ с.

Координата второй точки в этот момент (вершина параболы на графике зависимости координаты от времени):

$x_{min} = x_2(t_{stop}) = l - v_{02} t_{stop} + \frac{a t_{stop}^2}{2} = 4000 - 32 \cdot 160 + \frac{0,2 \cdot 160^2}{2} = 4000 - 5120 + 2560 = 1440$ м.

Если скорость $v_1$ будет слишком большой, то первая точка встретится со второй только один раз, уже после того, как вторая развернется. Граничный случай, который разделяет ситуации с одной и двумя встречами, наступает тогда, когда одна из встреч происходит точно в момент разворота второй точки. Это означает, что график движения первой точки $x_1(t)$ проходит через вершину параболы $x_2(t)$.

Найдем скорость $v_1$ для этого граничного случая, приравняв координаты точек в момент $t_{stop}$:

$x_1(t_{stop}) = x_{min}$

$v_1 \cdot 160 = 1440$

$v_1 = \frac{1440}{160} = 9$ м/с.

Если $v_1 > 9$ м/с, прямая $x_1(t)$ пересечет параболу $x_2(t)$ только один раз. Таким образом, для того чтобы было две встречи, скорость первой точки должна быть меньше этого граничного значения: $v_1 < 9$ м/с.

Объединяя два полученных условия, находим искомый диапазон:

$8 \text{ м/с} < v_1 < 9 \text{ м/с}$

Ответ: $8 \text{ м/с} < v_1 < 9 \text{ м/с}$.