Номер 3.1, страница 26 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Упражнения - номер 3.1, страница 26.

Условие.

3.1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$. Когда оно достигло высшей точки, из той же начальной точки с той же начальной скоростью брошено вверх другое тело. На какой высоте $\text{H}$ тела встретятся?

☑ $H = \frac{3v_0^2}{8g}$.

Решение. Используя формулу $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$ и учитывая, что в верхней точке $v = 0$, получаем $h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$. Если отсчитывать время от момента бросания второго тела, то уравнения движения тел следует записать в виде:

$h_1 = h_{\max} - \frac{gt^2}{2}$; $h_2 = v_0t - \frac{gt^2}{2}$.

Приравнивая $h_1 = h_2 = H$ (в момент встречи), получаем $t = \frac{h_{\max}}{v_0} = \frac{v_0}{2g}$; $H = \frac{3}{8} \frac{v_0^2}{g}$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость первого тела: $v_0$

Начальная скорость второго тела: $v_0$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Высота встречи тел: $H$

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с Землей. Ось OY направим вертикально вверх, а начало координат ($y=0$) поместим в точку бросания тел.

1. Сначала определим параметры движения первого тела до момента броска второго тела. Второе тело бросают, когда первое достигает высшей точки своей траектории.

Уравнение скорости для тела, движущегося под действием силы тяжести, имеет вид: $v = v_0 - gt$. В верхней точке траектории скорость тела становится равной нулю ($v=0$). Найдем время подъема $t_1$ первого тела:

$0 = v_0 - gt_1 \implies t_1 = \frac{v_0}{g}$

За это время тело поднимется на максимальную высоту $h_{max}$. Используем уравнение координаты $y(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$:

$h_{max} = v_0 t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{g v_0^2}{2g^2} = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

2. В момент, когда первое тело находится на высоте $h_{max}$, бросают второе тело. Для удобства начнем новый отсчет времени с этого момента ($t'=0$).

В этой новой системе отсчета времени $t'$:

• Первое тело начинает движение с высоты $h_{max}$ с начальной скоростью, равной нулю (свободное падение). Его координата будет меняться по закону: $y_1(t') = h_{max} - \frac{g(t')^2}{2}$
• Второе тело бросают из начала координат ($y=0$) с начальной скоростью $v_0$. Его координата будет меняться по закону: $y_2(t') = v_0t' - \frac{g(t')^2}{2}$

3. Тела встретятся в тот момент времени $t'_{встр}$, когда их координаты станут одинаковыми. Обозначим эту высоту встречи как $H$.

$y_1(t'_{встр}) = y_2(t'_{встр}) = H$

Приравняем выражения для координат:

$h_{max} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2} = v_0t'_{встр} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2}$

Слагаемое $-\frac{g(t'_{встр})^2}{2}$ присутствует в обеих частях уравнения и его можно сократить:

$h_{max} = v_0t'_{встр}$

Подставим найденное ранее выражение для $h_{max}$:

$\frac{v_0^2}{2g} = v_0t'_{встр}$

Отсюда найдем время до встречи $t'_{встр}$:

$t'_{встр} = \frac{v_0^2}{2gv_0} = \frac{v_0}{2g}$

4. Чтобы найти высоту встречи $H$, подставим найденное время $t'_{встр}$ в уравнение для координаты любого из тел. Проще всего это сделать для второго тела:

$H = y_2(t'_{встр}) = v_0t'_{встр} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2}$

$H = v_0 \left(\frac{v_0}{2g}\right) - \frac{g}{2} \left(\frac{v_0}{2g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2} \frac{v_0^2}{4g^2} = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{v_0^2}{8g}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$H = \frac{4v_0^2}{8g} - \frac{v_0^2}{8g} = \frac{3v_0^2}{8g}$

Ответ: $H = \frac{3v_0^2}{8g}$