Номер 3.2, страница 26 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Упражнения - номер 3.2, страница 26.

Условие.

3.2. Лифт начинает подниматься с ускорением $a = 2,2 \text{ м/с}^2$. Когда его скорость достигла $v = 2,4 \text{ м/с}$, с потолка кабины лифта оторвался болт. Чему равны время $\text{t}$ падения болта и перемещение болта относительно Земли за это время? Высота кабины лифта $H = 2,5 \text{ м}$.

☑ $t = 0,645 \text{ с}$; болт перемещается относительно Земли на $0,49 \text{ м}$ вниз.

Решение. Относительно лифта болт падает с ускорением $g + a$. Его начальная скорость относительно лифта равна нулю, а относительно Земли равна $\text{v}$. Поэтому время падения определяется из уравнения $H = \frac{(g + a) \cdot t^2}{2}$ и составляет $t = \sqrt{\frac{2H}{g + a}} = 0,645 \text{ (с)}$.

Решение.

Дано:

Ускорение лифта, $a = 2,2 \text{ м/с}^2$
Скорость лифта в момент отрыва болта, $v = 2,4 \text{ м/с}$
Высота кабины лифта, $H = 2,5 \text{ м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Время падения болта, $t$ - ?
Перемещение болта относительно Земли, $s$ - ?

Решение:

Задачу можно решить, рассмотрев движение в двух системах отсчета: неинерциальной (связанной с лифтом) для нахождения времени падения, и инерциальной (связанной с Землей) для нахождения перемещения болта.

Время t падения болта

Рассмотрим движение болта в системе отсчета, связанной с лифтом. Эта система отсчета является неинерциальной, так как лифт движется с ускорением. В этой системе на болт действует не только сила тяжести (создающая ускорение $g$), но и сила инерции, направленная противоположно ускорению лифта. Так как лифт ускоряется вверх, сила инерции направлена вниз.

Таким образом, полное ускорение болта относительно пола лифта $a_{отн}$ равно сумме ускорения свободного падения и ускорения лифта:

$a_{отн} = g + a$

В момент отрыва начальная скорость болта относительно лифта равна нулю. Болту нужно пролететь расстояние $H$ до пола. Используем формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

$H = \frac{a_{отн} t^2}{2} = \frac{(g + a) t^2}{2}$

Из этой формулы выразим время падения $t$:

$t = \sqrt{\frac{2H}{g + a}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2 + 2,2 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{5 \text{ м}}{12 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{0,4167 \text{ с}^2} \approx 0,645 \text{ с}$

Ответ: Время падения болта $t \approx 0,645 \text{ с}$.

Перемещение болта относительно Земли

Теперь рассмотрим движение болта в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. В момент отрыва болт имел начальную скорость, равную скорости лифта, то есть $v = 2,4 \text{ м/с}$, и она была направлена вертикально вверх. После отрыва болт движется только под действием силы тяжести, то есть с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз.

Направим ось OY вертикально вверх. В этом случае начальная скорость $v$ будет положительной, а ускорение $g$ — отрицательным. Перемещение болта $s$ за время $t$ определяется по формуле:

$s = v t - \frac{g t^2}{2}$

Подставим известные значения, включая найденное ранее время $t \approx 0,645 \text{ с}$:

$s = 2,4 \text{ м/с} \cdot 0,645 \text{ с} - \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,645 \text{ с})^2}{2}$

$s \approx 1,548 \text{ м} - \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,416 \text{ с}^2}{2} \approx 1,548 \text{ м} - 2,038 \text{ м} \approx -0,49 \text{ м}$

Знак "минус" в результате означает, что вектор перемещения направлен в сторону, противоположную выбранному направлению оси OY, то есть вниз. Величина перемещения составляет 0,49 м.

Ответ: Перемещение болта относительно Земли составляет 0,49 м вниз.