Номер 12, страница 30 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Олимпиадные задачи - номер 12, страница 30.

Условие.

O2. Выпущенный вертикально вверх снаряд разорвался в верхней точке траектории на множество мелких осколков, разлетающихся с одинаковой по модулю начальной скоростью $v_0$ в разные стороны. Как будет меняться со временем форма «облака» из осколков?

Решение. В отсутствие тяготения осколки двигались бы равномерно и прямолинейно, заполняя расширяющуюся сферу радиусом $v_0t$ с центром в точке взрыва. Из-за наличия тяготения осколки разлетаются по различным параболическим траекториям, но поскольку ускорения всех осколков одинаковы, мы легко можем «убрать» тяготение — для этого надо перейти в систему отсчета, связанную с телом, которое начало бы свободно падать в момент разрыва снаряда (так двигался бы сам снаряд, останься он целым). В этой системе отсчета осколки движутся без ускорения, т. е. «тяготения нет». Значит, «облако осколков» — тоже сфера радиусом $v_0t$, только центр ее не покоится относительно Земли, а опускается с ускорением $\text{g}$ без начальной скорости (вспомните праздничные фейерверки). Заметим, что в отсутствие сопротивления воздуха облако осколков было бы сферическим и в том случае, если бы снаряд разорвался в любой точке параболической траектории.

Решение.

Дано:

Начальная скорость осколков относительно снаряда в момент взрыва: $v_0$

Ускорение свободного падения: $g$

Взрыв происходит в верхней точке траектории (скорость снаряда в этот момент равна нулю).

Найти:

Как будет меняться со временем форма «облака» из осколков?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся принципом относительности движения. Рассмотрим движение осколков в двух системах отсчета: связанной с Землей (инерциальной) и связанной с центром масс осколков (неинерциальной).

1. Движение центра масс.

В момент взрыва снаряд находится в верхней точке траектории, его скорость равна нулю. Взрыв происходит за счет внутренних сил, которые не могут изменить положение и скорость центра масс системы. Следовательно, сразу после взрыва скорость центра масс облака осколков также равна нулю. После взрыва на каждый осколок (и, следовательно, на всю систему осколков) действует только одна внешняя сила — сила тяжести. Это означает, что центр масс облака осколков будет двигаться так же, как двигался бы сам снаряд, если бы он не разорвался: он будет свободно падать из точки взрыва с ускорением свободного падения $g$ и нулевой начальной скоростью.

Координата центра масс облака по вертикали (если направить ось $Y$ вниз от точки взрыва) будет меняться со временем по закону:

$y_{цм}(t) = \frac{gt^2}{2}$

2. Движение осколков относительно центра масс.

Теперь перейдем в систему отсчета, связанную с центром масс. Эта система отсчета движется относительно Земли с ускорением $\vec{g}$. В этой неинерциальной системе отсчета на каждый осколок, помимо реальной силы тяжести $m\vec{g}$, действует так называемая сила инерции, равная $-m\vec{a}_{системы} = -m\vec{g}$. Сумма этих сил равна нулю:

$\vec{F}_{отн} = m\vec{g} + (-m\vec{g}) = 0$

Это означает, что в системе отсчета, связанной с центром масс, осколки движутся без ускорения, то есть равномерно и прямолинейно. В начальный момент времени ($t=0$) все осколки вылетают из одной точки (центра масс) с одинаковой по модулю скоростью $v_0$ во всевозможных направлениях. Такое движение приведет к тому, что в любой последующий момент времени $t$ все осколки будут находиться на поверхности сферы, центр которой совпадает с центром масс, а радиус линейно растет со временем:

$R(t) = v_0 t$

3. Движение в системе отсчета, связанной с Землей.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы можем описать движение облака осколков в системе отсчета, связанной с Землей. Облако осколков будет представлять собой сферу, радиус которой равномерно увеличивается со временем ($R = v_0 t$), а центр этой сферы будет свободно падать вертикально вниз из точки взрыва с ускорением $g$.

Ответ: Облако из осколков будет иметь форму сферы. Радиус этой сферы будет увеличиваться прямо пропорционально времени по закону $R = v_0 t$, а центр этой сферы будет двигаться из точки взрыва вертикально вниз с ускорением свободного падения $g$.