Номер 4.2, страница 35 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 4. Равномерное движение по окружности. Упражнения - номер 4.2, страница 35.

Условие.

4.2. Найдите скорость $\text{v}$ и ускорение $\text{a}$ точки земной поверхности, находящейся на широте $50^{\circ}$, за счет суточного вращения Земли. Радиус Земли $R = 6400$ км.

☑ $300 \text{ м/с}$; $2,2 \text{ см/с}^2$.

Указание. Точка земной поверхности на этой широте описывает относительно центра Земли окружность радиусом $r = R\cos\varphi$ (см. рисунок) за 24 часа.

Решение.

Дано:

Широта $\phi = 50^\circ$

Радиус Земли $R = 6400 \text{ км}$

Период суточного вращения $T = 24 \text{ часа}$

Перевод в систему СИ:

$R = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

$T = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Скорость $v$

Ускорение $a$

Решение:

Точка на поверхности Земли на широте $\phi$ вращается вместе с планетой, описывая окружность. Радиус этой окружности $r$ (расстояние от точки до оси вращения Земли) определяется по формуле, указанной в условии и видимой из рисунка:

$r = R \cos\phi$

где $R$ — это радиус Земли. Подставим числовые значения:

$r = 6.4 \times 10^6 \text{ м} \times \cos(50^\circ) \approx 6.4 \times 10^6 \times 0.643 \approx 4.115 \times 10^6 \text{ м}$

Угловая скорость $\omega$ вращения Земли одинакова для всех точек и вычисляется как отношение полного угла ($2\pi$) к периоду вращения $T$:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

$\omega = \frac{2 \times 3.1416}{86400 \text{ с}} \approx 7.27 \times 10^{-5} \text{ рад/с}$

Теперь мы можем найти линейную скорость $v$ точки на заданной широте. Линейная скорость связана с угловой скоростью и радиусом вращения соотношением:

$v = \omega r = \frac{2\pi R \cos\phi}{T}$

Выполним расчет:

$v \approx 7.27 \times 10^{-5} \text{ рад/с} \times 4.115 \times 10^6 \text{ м} \approx 299.16 \text{ м/с}$

При движении по окружности тело испытывает центростремительное ускорение $a$, направленное к центру окружности вращения. Его величина вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}$

Используя первую формулу, получим:

$a \approx (7.27 \times 10^{-5} \text{ рад/с})^2 \times 4.115 \times 10^6 \text{ м} \approx 5.285 \times 10^{-9} \times 4.115 \times 10^6 \approx 0.0217 \text{ м/с}^2$

Для сравнения с ответом, приведенным в задаче, переведем полученное значение в см/с²:

$a = 0.0217 \text{ м/с}^2 = 2.17 \text{ см/с}^2$

Округляя полученные результаты, получаем значения, соответствующие ответу в условии.

Ответ: $v \approx 300$ м/с; $a \approx 2.2$ см/с².