Номер 20, страница 38 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 4. Равномерное движение по окружности. Олимпиадные задачи - номер 20, страница 38.

Условие.

O-20. Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью $\text{v}$ под углом $\alpha$ к горизонту (см. рисунок). Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. В каком направлении и с какой скоростью $\text{u}$ она катится? Нить такая длинная, что угол $\alpha$ при движении не изменяется.

Решение. Угловая скорость вращения катушки $\omega = \frac{u}{R}$.

Следовательно, скорость точки А можно представить как векторную сумму скорости $\vec{u}$ движения оси катушки и скорости $\vec{v}_1$ движения по окружности вокруг оси катушки (на рисунке катушка движется вправо): $\vec{v}_A = \vec{u} + \vec{v}_1$. Поскольку проекции скоростей $\vec{v}_A$ и $\vec{v}$ на направление нити одинаковы, а $v_1 = \omega r$, получаем $u \cos\alpha - \omega r = v$, от-куда $u = \frac{v}{\cos\alpha - r/R}$.

При $\cos\alpha > \frac{r}{R}$ катушка движется вправо, при $\cos\alpha < \frac{r}{R}$ она движется влево (тогда $u = \frac{v}{r/R - \cos\alpha}$).

Когда продолжение нити проходит через точку $\text{O}$ (при $\cos\alpha = r/R$), качение без проскальзывания невозможно.

Решение.

Дано:

$v$ – скорость, с которой тянут нить
$\alpha$ – угол, под которым тянут нить к горизонту
$R$ – внешний радиус катушки
$r$ – внутренний радиус катушки (радиус намотки нити)

Найти:

$u$ – скорость центра катушки
Направление движения катушки

Решение:

Движение катушки можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного движения центра масс со скоростью $\vec{u}$ и вращательного движения вокруг центра масс с угловой скоростью $\omega$.

Поскольку катушка катится без проскальзывания, скорость точки, касающейся горизонтальной плоскости, равна нулю. Это условие связывает линейную и угловую скорости. Если катушка движется вправо (положительное направление), то она вращается по часовой стрелке. Связь между модулями скоростей:$u = \omega R$ или $\omega = \frac{u}{R}$

Скорость нити $v$ определяется скоростью точки A, в которой нить отрывается от катушки. Скорость нити $v$ должна быть равна проекции абсолютной скорости точки A ($\vec{v}_A$) на направление самой нити.

Абсолютная скорость точки A является векторной суммой скорости центра масс $\vec{u}$ и скорости вращательного движения точки A вокруг центра масс $\vec{v}_{\text{rot}}$:$\vec{v}_A = \vec{u} + \vec{v}_{\text{rot}}$

Спроектируем это равенство на направление нити, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом:$v = \text{proj}_{\text{нить}}(\vec{v}_A) = \text{proj}_{\text{нить}}(\vec{u}) + \text{proj}_{\text{нить}}(\vec{v}_{\text{rot}})$

Найдем проекции:1. Проекция скорости центра масс $\vec{u}$ (которая горизонтальна) на направление нити равна $u \cos \alpha$.2. Вектор $\vec{v}_{\text{rot}}$ имеет модуль, равный $\omega r$, и направлен по касательной к внутренней окружности. Поскольку нить сходит с катушки по касательной, вектор $\vec{v}_{\text{rot}}$ параллелен нити. При движении катушки вправо (вращение по часовой стрелке) и сходе нити с верхней части катушки, вектор $\vec{v}_{\text{rot}}$ направлен в сторону, противоположную направлению, в котором тянут нить. Поэтому его проекция на направление нити будет отрицательной: $-\omega r$.

Таким образом, получаем уравнение:$v = u \cos \alpha - \omega r$

Подставим в это уравнение выражение для угловой скорости $\omega = u/R$:$v = u \cos \alpha - \frac{u}{R}r$

Вынесем $u$ за скобки:$v = u \left(\cos \alpha - \frac{r}{R}\right)$

Отсюда выразим скорость центра катушки $u$:$u = \frac{v}{\cos \alpha - r/R}$

Теперь проанализируем полученное выражение. Направление движения зависит от знака знаменателя $\cos \alpha - r/R$.

1. Если $\cos \alpha > r/R$:
Знаменатель дроби положителен, следовательно, $u > 0$. Это означает, что катушка движется вправо (в ту же сторону, куда направлена горизонтальная составляющая силы натяжения).
Скорость катушки равна $u = \frac{v}{\cos \alpha - r/R}$.

2. Если $\cos \alpha < r/R$:
Знаменатель дроби отрицателен, следовательно, $u < 0$. Это означает, что катушка движется влево (в сторону, противоположную горизонтальной составляющей силы натяжения).
Скорость (модуль скорости) катушки равна $|u| = \frac{v}{-(\cos \alpha - r/R)} = \frac{v}{r/R - \cos \alpha}$.

3. Если $\cos \alpha = r/R$:
Знаменатель обращается в нуль, что соответствует бесконечной скорости $u$. В данном случае условие качения без проскальзывания невыполнимо. Геометрически это условие означает, что линия действия силы натяжения нити проходит через точку касания катушки с поверхностью (мгновенный центр вращения), и такая сила не может создать вращающий момент относительно этой точки.

Ответ: Направление и скорость движения катушки зависят от соотношения между углом $\alpha$ и радиусами катушки $r$ и $R$.
- Если $\cos \alpha > r/R$, катушка катится вправо со скоростью $u = \frac{v}{\cos \alpha - r/R}$.
- Если $\cos \alpha < r/R$, катушка катится влево со скоростью $u = \frac{v}{r/R - \cos \alpha}$.
- Если $\cos \alpha = r/R$, качение без проскальзывания невозможно.