Номер 18, страница 37 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 4. Равномерное движение по окружности. Олимпиадные задачи - номер 18, страница 37.

Условие.

О8. Человек держит один конец горизонтальной доски длиной $\text{l}$, а другой ее конец лежит на катящемся по полу цилиндре (см. рисунок). Цилиндр катится без проскальзывания; отсутствует также скольжение доски по цилиндру. Какое расстояние пройдет человек, пока достигнет цилиндра, если длина доски равна $\text{l}$?

☑ $ $2l$.

Решение. Точка цилиндра, касающаяся доски, движется вперед со скоростью, вдвое большей той, с которой движется ось цилиндра. Поэтому, чтобы дойти до цилиндра, человек должен пройти расстояние $2l$.

Решение.

Дано

Длина доски: $l$

Найти:

Расстояние, которое пройдет человек: $S_ч$

Решение

Рассмотрим движение системы в лабораторной системе отсчета, связанной с полом.

Пусть $v_c$ – скорость центра масс (оси) цилиндра, а $\omega$ – его угловая скорость. Так как цилиндр катится по полу без проскальзывания, скорость нижней точки цилиндра, касающейся пола, равна нулю. Эта скорость является суммой поступательной скорости центра масс $v_c$ и линейной скорости вращения $-\omega R$ (где $R$ – радиус цилиндра). Таким образом:

$v_c - \omega R = 0 \implies v_c = \omega R$

Доска лежит на верхней точке цилиндра и, по условию, не проскальзывает по нему. Это означает, что скорость доски $v_д$ равна скорости верхней точки цилиндра. Скорость верхней точки является суммой поступательной скорости центра масс $v_c$ и линейной скорости вращения $\omega R$ (в данном случае направления скоростей совпадают):

$v_д = v_c + \omega R$

Подставляя $v_c = \omega R$, получаем:

$v_д = v_c + v_c = 2v_c$

Человек держит конец доски, поэтому его скорость $v_ч$ равна скорости доски: $v_ч = v_д = 2v_c$.

Итак, скорость человека в два раза больше скорости центра цилиндра.

Пусть в начальный момент времени $t=0$ координата центра цилиндра $x_c(0) = 0$, а координата человека $x_ч(0) = l$. Человек и цилиндр движутся в одном направлении.

Человек достигнет цилиндра, когда его координата станет равной координате центра цилиндра. За время $t$ их координаты изменятся следующим образом:

$x_ч(t) = x_ч(0) - v_ч t = l - v_ч t$

$x_c(t) = x_c(0) - v_c t = -v_c t$

Приравниваем координаты, чтобы найти время встречи $T$:

$l - v_ч T = -v_c T$

$l = v_ч T - v_c T = (v_ч - v_c) T$

Время, за которое человек дойдет до цилиндра, равно:

$T = \frac{l}{v_ч - v_c}$

Подставим соотношение скоростей $v_ч = 2v_c$:

$T = \frac{l}{2v_c - v_c} = \frac{l}{v_c}$

Теперь найдем расстояние $S_ч$, которое пройдет человек за это время. Это расстояние равно произведению его скорости на время движения:

$S_ч = v_ч \cdot T = (2v_c) \cdot \left(\frac{l}{v_c}\right) = 2l$

Ответ: человек пройдет расстояние, равное $2l$.