Номер 5.3, страница 40 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 5. Законы Ньютона. Упражнения - номер 5.3, страница 40.

Условие.

5.3. На однородный стержень длиной $\text{l}$ действуют две растягивающие силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, приложенные к его концам. С какой силой $\text{F}$ растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии $\text{x}$ от точки приложения силы $\vec{F_1}$?

☑ $F = F_1(l-x)/l + F_2x/l$.

Решение. Левая часть стержня имеет массу $\frac{mx}{l}$, а правая $\frac{m(l-x)}{l}$. Обе части движутся с одинаковым ускорением $\text{a}$ под действием приложенных к ним сил. Значит,

$F_1 - F = \frac{mx}{l}a$, $F - F_2 = \frac{m(l-x)}{l}a$.

Отсюда $a = \frac{F_1 - F_2}{m}$, $F = F_1\frac{l-x}{l} + F_2\frac{x}{l}$.

Если $x \to 0$, то $F \to F_1$; если $x \to l$, то $F \to F_2$.

Решение.

Дано:

$l$ — длина однородного стержня
$m$ — масса стержня (введем для решения)
$\vec{F_1}$ — растягивающая сила, приложенная к одному концу (в точке с координатой $0$)
$\vec{F_2}$ — растягивающая сила, приложенная к другому концу (в точке с координатой $l$)
$x$ — расстояние от точки приложения силы $\vec{F_1}$

Найти:

$F(x)$ — силу растяжения (натяжения) в сечении на расстоянии $x$.

Решение:

Расположим стержень вдоль оси $Ox$ так, что один его конец, к которому приложена сила $\vec{F_1}$, находится в точке $x=0$, а другой конец — в точке $x=l$. Поскольку силы являются растягивающими, они направлены наружу от стержня. Сила $\vec{F_1}$ будет направлена против оси $Ox$ (влево), а сила $\vec{F_2}$ — вдоль оси $Ox$ (вправо). В проекции на ось $Ox$ эти силы равны $-F_1$ и $F_2$ соответственно, где $F_1$ и $F_2$ — модули сил.

Сначала найдем ускорение, с которым движется стержень как единое целое. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая внешних сил равна произведению массы стержня $m$ на его ускорение $a$: $F_{net} = F_2 - F_1 = m \cdot a$

Отсюда ускорение стержня равно: $a = \frac{F_2 - F_1}{m}$

Это ускорение одинаково для всех точек стержня.

Теперь мысленно разделим стержень в сечении, находящемся на расстоянии $x$ от конца, к которому приложена сила $F_1$. Рассмотрим левую часть стержня длиной $x$. На эту часть действуют две силы в проекции на ось $Ox$:

1. Внешняя сила $-F_1$, приложенная в точке $x=0$.
2. Сила натяжения $F$, действующая на сечение со стороны правой части стержня. Так как стержень растянут, эта сила направлена вправо (вдоль оси $Ox$), и ее проекция равна $+F$.

Стержень является однородным, поэтому его линейная плотность $\lambda = m/l$. Масса левой части стержня длиной $x$ равна: $m_x = \lambda \cdot x = m \frac{x}{l}$

Применим второй закон Ньютона к левой части стержня. Равнодействующая сил, действующих на эту часть, равна произведению ее массы $m_x$ на ускорение $a$: $F - F_1 = m_x \cdot a$

Подставим в это уравнение ранее найденные выражения для массы $m_x$ и ускорения $a$: $F - F_1 = \left( \frac{mx}{l} \right) \cdot \left( \frac{F_2 - F_1}{m} \right)$

Масса стержня $m$ в правой части уравнения сокращается: $F - F_1 = \frac{x}{l}(F_2 - F_1)$

Теперь выразим искомую силу натяжения $F$: $F = F_1 + \frac{x}{l}(F_2 - F_1)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: $F = F_1 + \frac{x}{l}F_2 - \frac{x}{l}F_1$ $F = F_1\left(1 - \frac{x}{l}\right) + F_2\frac{x}{l}$

Данная формула показывает, что сила натяжения в стержне изменяется по линейному закону. При $x=0$ сила натяжения $F = F_1$, а при $x=l$ сила натяжения $F = F_2$.

Ответ: $F = F_1(1 - x/l) + F_2x/l$