Номер 21, страница 41 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 5. Законы Ньютона. Олимпиадные задачи - номер 21, страница 41.

Условие.

O-21. Какие капли дождя падают быстрее — крупные или мелкие? Почему? Считать, что шарообразная форма капли при падении не изменяется.

Решение. На падающую каплю действуют две силы: постоянная сила тяжести, направленная вниз, и сила сопротивления воздуха, направленная вниз и увеличивающаяся с ростом скорости капли. Когда сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести, скорость капли перестанет увеличиваться, и дальнейшее ее падение будет происходить с постоянной скоростью. При увеличении размеров капли сила тяжести увеличивается пропорционально объему капли, т. е. пропорционально третьей степени ее радиуса, а сила сопротивления — пропорционально сечению капли, т. е. пропорционально квадрату радиуса. Поэтому при увеличении радиуса капли сила тяжести увеличивается быстрее, чем сила сопротивления воздуха, а значит, постоянная скорость, с которой капля падает на землю, при увеличении капли увеличивается.

Решение.

Крупные капли дождя падают быстрее, чем мелкие. Это связано с соотношением между силой тяжести, которая зависит от объема капли, и силой сопротивления воздуха, которая зависит от площади ее поперечного сечения.

Решение

На падающую в воздухе каплю, которую мы считаем шарообразной, действуют две основные силы:
1. Сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз.
2. Сила сопротивления воздуха ($F_с$), направленная вертикально вверх, против движения.

Сила тяжести определяется массой капли $m$ и ускорением свободного падения $g$:
$F_т = mg$
Масса шарообразной капли пропорциональна ее объему $V$, который, в свою очередь, зависит от куба радиуса капли $r$. Плотность воды обозначим как $\rho_в$.
$m = \rho_в V = \rho_в \frac{4}{3}\pi r^3$
Следовательно, сила тяжести пропорциональна кубу радиуса:
$F_т \propto r^3$

Сила сопротивления воздуха для тел, движущихся со значительной скоростью, пропорциональна площади поперечного сечения тела $S$ и квадрату его скорости $v$. Для шарообразной капли площадь поперечного сечения (площадь круга) пропорциональна квадрату ее радиуса:
$S = \pi r^2$
Таким образом, сила сопротивления воздуха пропорциональна произведению квадрата радиуса на квадрат скорости:
$F_с \propto S \cdot v^2 \propto r^2 v^2$

Когда капля начинает падать, ее скорость невелика, и сила тяжести значительно больше силы сопротивления, поэтому капля движется с ускорением. По мере роста скорости увеличивается и сила сопротивления воздуха. В некоторый момент времени сила сопротивления становится равной по модулю силе тяжести:
$F_с = F_т$
С этого момента равнодействующая всех сил, действующих на каплю, становится равной нулю, ускорение прекращается, и капля продолжает падать с постоянной скоростью. Эта скорость называется установившейся или терминальной скоростью $v_{уст}$.

Найдем зависимость установившейся скорости от радиуса капли, используя условие равновесия сил. Введем коэффициенты пропорциональности $k_1$ и $k_2$:
$F_с = k_1 S v_{уст}^2 = k_1 (\pi r^2) v_{уст}^2$
$F_т = m g = \rho_в (\frac{4}{3}\pi r^3) g$
Приравнивая их, получаем:
$k_1 \pi r^2 v_{уст}^2 = \rho_в \frac{4}{3}\pi r^3 g$
Выразим отсюда квадрат установившейся скорости:
$v_{уст}^2 = \frac{4 \rho_в g}{3 k_1} \cdot \frac{\pi r^3}{\pi r^2} = (\frac{4 \rho_в g}{3 k_1}) \cdot r$
Так как выражение в скобках является константой, мы видим, что квадрат установившейся скорости прямо пропорционален радиусу капли:
$v_{уст}^2 \propto r$
Следовательно, сама установившаяся скорость пропорциональна квадратному корню из радиуса:
$v_{уст} \propto \sqrt{r}$

Из полученной зависимости следует, что чем больше радиус капли $r$, тем выше ее установившаяся скорость падения $v_{уст}$. Иными словами, при увеличении радиуса капли ее масса (и сила тяжести) растет быстрее (как $r^3$), чем площадь поперечного сечения (как $r^2$). Поэтому для уравновешивания большей силы тяжести требуется большая сила сопротивления, которая достигается при большей скорости падения.

Ответ: Крупные капли дождя падают быстрее мелких. Это происходит потому, что их установившаяся скорость падения больше. С увеличением размера капли ее масса, а значит и сила тяжести, растет пропорционально кубу радиуса ($r^3$), в то время как сила сопротивления воздуха при одинаковой скорости растет пропорционально площади поперечного сечения, то есть квадрату радиуса ($r^2$). Чтобы сила сопротивления воздуха уравновесила значительно большую силу тяжести, крупной капле необходимо развить большую скорость.