Номер 19, страница 38 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 4. Равномерное движение по окружности. Кинематика. Механика - номер 19, страница 38.

Условие.

O9. С какой скоростью и в какое время суток должен лететь горизонтально самолет на широте Санкт-Петербурга ($\varphi = 60^{\circ}$), чтобы летчик видел Солнце все время на юге? Считайте радиус Земли равным 6400 км.

☑ 837 км/ч.

Решение. Самолёт должен вылететь в полдень и лететь противоположно направлению вращения Земли, т. е. с востока на запад, со скоростью, равной линейной скорости Земли на широте Санкт-Петербурга.

Угловая скорость вращения Земли $\omega = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \left(\frac{\text{рад}}{\text{ч}}\right)$.

Линейная скорость на широте Санкт-Петербурга равна (см. задачу 4.2) $v = r \cdot \omega = R \cdot \omega \cos\varphi = R \cdot \omega / 2 \approx 837 \left(\text{км}/\text{ч}\right)$.

Решение.

Дано:

Широта Санкт-Петербурга: $\phi = 60^\circ$

Радиус Земли: $R = 6400 \text{ км}$

Период вращения Земли (солнечные сутки): $T = 24 \text{ ч}$

Перевод в систему СИ:

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$T = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Скорость самолета $v$ и время суток.

Решение:

Чтобы летчик в Северном полушарии постоянно видел Солнце на юге, самолет должен находиться в точке, где в данный момент полдень. Это означает, что местное солнечное время для самолета должно оставаться неизменным и равным 12:00.

Земля вращается вокруг своей оси с запада на восток. Чтобы "оставаться на месте" относительно Солнца, то есть сохранять полдень, самолет должен лететь в направлении, противоположном вращению Земли, — с востока на запад. При этом его скорость относительно поверхности Земли должна быть равна линейной скорости вращения точек на данной широте.

1. Найдем угловую скорость вращения Земли $\omega$. Земля совершает полный оборот ($2\pi$ радиан) за 24 часа.

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{24 \text{ ч}} = \frac{\pi}{12} \frac{\text{рад}}{\text{ч}}$

2. Точки на поверхности Земли на широте $\phi$ движутся по окружности (параллели), радиус которой $r$ меньше радиуса Земли $R$. Этот радиус можно найти из геометрических соображений:

$r = R \cdot \cos\phi$

3. Линейная скорость вращения $v$ точки на широте $\phi$ равна произведению угловой скорости $\omega$ на радиус вращения $r$. Скорость самолета должна быть равна этой величине.

$v = \omega \cdot r = \omega \cdot R \cdot \cos\phi$

4. Подставим числовые значения:

$v = \frac{\pi}{12 \text{ ч}} \cdot 6400 \text{ км} \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = 0.5 = \frac{1}{2}$, получаем:

$v = \frac{\pi}{12 \text{ ч}} \cdot 6400 \text{ км} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3200\pi}{12} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{800\pi}{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.1416$:

$v \approx \frac{800 \cdot 3.1416}{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}} \approx 837.76 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Округляя, получаем $v \approx 837$ км/ч.

Таким образом, самолет должен лететь в полдень (12:00 по местному времени) со скоростью около 837 км/ч с востока на запад.

Ответ: Самолет должен лететь в полдень со скоростью 837 км/ч с востока на запад.