Номер 4.4, страница 35 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 4. Равномерное движение по окружности. Упражнения - номер 4.4, страница 35.

Условие.

4.4. Катушка с нитью лежит на горизонтальном столе и может катиться по нему без проскальзывания. Внутренний радиус катушки $\text{r}$, внешний $\text{R}$. С какой скоростью $\vec{u}$ будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v}$? Рассмотрите два случая (см. рис. а и б).

Рис. а

Рис. б

Решение. Перемещение конца нити обусловлено перемещением оси катушки и изменением длины нити за счет сматывания (или наматывания) нити с катушки во время движения. Нетрудно убедиться, что перемещения конца нити, вызываемые этими двумя причинами, всегда будут направлены в разные стороны. Если, например, катушка движется вправо, то вследствие перемещения оси катушки конец нити будет двигаться вправо, а за счет наматывания нити — влево. Так как $r < R$, то изменение длины нити за один полный оборот всегда меньше перемещения оси катушки за то же время. В результате сложения этих движений конец нити должен будет всегда перемещаться в ту сторону, в которую движется ось катушки. За время полного оборота $\text{T}$ ось катушки переместится вправо на расстояние $2\pi R$, а длина нити уменьшится на $2\pi r$.

$l_1 = 2\pi R$, $l_2 = 2\pi r$.

Очевидно, скорость движения оси катушки $u = \frac{2\pi R}{T}$, а скорость уменьшения длины нити $v' = \frac{2\pi r}{T}$.

Скорость движения конца нити (согласно закону сложения скоростей) $v = u - v'$. Выразим скорость уменьшения длины нити через скорость движения оси катушки:

$v' = \frac{2\pi r}{T} \cdot \frac{R}{R} = \frac{2\pi R}{T} \cdot \frac{r}{R} = u \cdot \frac{r}{R}$

Тогда $v = u - \frac{r}{R} \cdot u = u \left(1 - \frac{r}{R}\right) = u \cdot \frac{R-r}{R}$.

Отсюда $u = \frac{R}{R-r} \cdot v$. Ось катушки перемещается быстрее конца нити. Во втором случае катушка перемещается в сторону движения конца нити со скоростью $u = \frac{R}{R+r} \cdot v$.

Ось катушки перемещается медленнее конца нити.

Решение.

Решение

Рассмотрим движение катушки как сложное движение, состоящее из поступательного движения ее оси (центра) со скоростью $\vec{u}$ и вращательного движения вокруг оси с угловой скоростью $\vec{\omega}$. Скорость любой точки на катушке является векторной суммой этих двух скоростей.

Так как катушка катится по горизонтальному столу без проскальзывания, скорость точки на ее ободе, которая в данный момент касается стола, равна нулю. Пусть катушка катится вправо, тогда скорость ее оси $\vec{u}$ направлена вправо, а угловая скорость $\vec{\omega}$ направлена по часовой стрелке. Для модуля скорости центра $u$ и модуля угловой скорости $\omega$ условие отсутствия проскальзывания имеет вид: $u - \omega R = 0$. Отсюда следует соотношение: $\omega = \frac{u}{R}$.

Скорость конца нити $\vec{v}$ равна скорости той точки катушки, в которой нить от нее отделяется. Найдем эту скорость для обоих случаев.

Рис. а

В этом случае нить тянут за нижнюю часть внутреннего цилиндра. Точка $P$, в которой нить отрывается от катушки, находится ниже оси. Скорость этой точки $\vec{v}_P$ равна векторной сумме скорости оси $\vec{u}$ (направлена вправо) и линейной скорости вращения точки $P$ вокруг оси, $\vec{v}_{rot}$. При вращении по часовой стрелке точка $P$ движется влево относительно оси. Таким образом, векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}_{rot}$ направлены в противоположные стороны.

Для модулей скоростей имеем:

$v = u - v_{rot} = u - \omega r$

Подставим в это выражение ранее найденное соотношение $\omega = u/R$:

$v = u - \frac{u}{R}r = u\left(1 - \frac{r}{R}\right) = u\frac{R-r}{R}$

Из этого уравнения выражаем скорость оси катушки $u$:

$u = v \frac{R}{R-r}$

Ответ: Ось катушки будет перемещаться со скоростью $u = v \frac{R}{R-r}$ в направлении, в котором тянут нить.

Рис. б

В этом случае нить тянут за верхнюю часть внутреннего цилиндра. Точка $P$, в которой нить отрывается от катушки, находится выше оси. Скорость этой точки $\vec{v}_P$ равна векторной сумме скорости оси $\vec{u}$ (направлена вправо) и линейной скорости вращения точки $P$ вокруг оси, $\vec{v}_{rot}$. При вращении по часовой стрелке точка $P$ движется вправо относительно оси. Таким образом, векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}_{rot}$ сонаправлены.

Для модулей скоростей имеем:

$v = u + v_{rot} = u + \omega r$

Подставим в это выражение соотношение $\omega = u/R$:

$v = u + \frac{u}{R}r = u\left(1 + \frac{r}{R}\right) = u\frac{R+r}{R}$

Из этого уравнения выражаем скорость оси катушки $u$:

$u = v \frac{R}{R+r}$

Ответ: Ось катушки будет перемещаться со скоростью $u = v \frac{R}{R+r}$ в направлении, в котором тянут нить.