Номер 14, страница 32 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Кинематика. Механика - номер 14, страница 32.

Условие.

O4. Два тела падают без начальной скорости с одной и той же высоты H. На пути второго тела находится расположенная под углом 45° к горизонту площадка. При ударе о площадку составляющая скорости тела, перпендикулярная площадке, изменяет знак, а составляющая, параллельная площадке, остается неименной. Какое тело падало дольше? У какого тела больше конечная скорость? На какой высоте надо разместить площадку, чтобы второе тело упало как можно позже?

☑ Тело 2 упадет позже, чем тело 1; конечные скорости тел одинаковы. Время движения второго тела максимально, если площадка находится на высоте 0,5H.

Решение.

Время падения и конечная скорость первого тела $t_1 = \sqrt{2H / g}$, $v_1 = \sqrt{2gH}$.

Скорость второго тела после столкновения (см. рисунок) направлена горизонтально, т. е. $v_y = 0$.

Поскольку в момент соударения вертикальная скорость тела становится равной нулю, время падения увеличивается. Пусть площадка расположена на высоте $\text{h}$. К моменту удара о площадку $t'_2 = \sqrt{2(H-h) / g}$, $v'_2 = \sqrt{2g(H-h)}$. Полное время падения второго тела $t_2 = t'_2 + \sqrt{2h / g}$, так что $t_2 / t_1 = \sqrt{1-h / H} + \sqrt{h / H}$. Это отношение больше единицы, поскольку $(\frac{t_2}{t_1})^2 = 1+2\sqrt{\frac{h}{H}(1-\frac{h}{H})} > 1$.

При $h \to 0$ или $h \to H$ получаем, естественно, $t_2 \to t_1$. Наибольшая «задержка» падения второго тела происходит при $h = 0,5H$; при этом $t_2 = t_1\sqrt{2}$. Вопрос о конечной скорости второго тела можно теперь сформулировать так: с какой скоростью $v_2$ упадет тело, брошенное горизонтально со скоростью $v'_2$ с высоты $\text{h}$? Ответ на этот вопрос легко найти: $v_2 = \sqrt{v'^2_2 + 2gh} = \sqrt{2gH}$. Итак, $v_2 = v_1$, т. е. оба тела упадут с одинаковой по модулю скоростью.

Решение.

Дано:

Высота падения: $H$

Начальная скорость тел: $v_0 = 0$

Высота расположения площадки: $h$

Угол наклона площадки к горизонту: $\alpha = 45^\circ$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

а) Какое тело падает дольше?

б) У какого тела больше конечная скорость?

в) На какой высоте $h$ надо разместить площадку, чтобы второе тело упало как можно позже?

Решение:

а) Какое тело падает дольше?

Найдем время падения первого тела. Это свободное падение с высоты $H$ без начальной скорости. Время движения $t_1$ определяется из формулы $H = \frac{gt_1^2}{2}$.

$t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

Теперь рассмотрим движение второго тела. Оно состоит из двух этапов.

1. Свободное падение с высоты $H$ до высоты $h$, на которой расположена площадка. Длительность этого этапа $t'_{2}$ равна:

$t'_{2} = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$

2. Движение после упругого удара о площадку до земли. В момент удара тело имеет только вертикальную скорость $v'_{2} = \sqrt{2g(H-h)}$. При ударе о площадку, наклоненную под углом $45^\circ$, происходит преобразование скорости. Вертикальная составляющая скорости тела обнуляется, а вся кинетическая энергия переходит в горизонтальную составляющую скорости. Таким образом, после отскока тело начинает движение с высоты $h$ с горизонтальной скоростью $v_x = v'_{2} = \sqrt{2g(H-h)}$ и нулевой начальной вертикальной скоростью.

Время падения с высоты $h$ с нулевой начальной вертикальной скоростью $t''_{2}$ находится из формулы $h = \frac{gt''_{2}^2}{2}$:

$t''_{2} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Полное время падения второго тела $t_2$ равно сумме времен двух этапов:

$t_2 = t'_{2} + t''_{2} = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} + \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Чтобы сравнить $t_1$ и $t_2$, сравним величины $\sqrt{H}$ и $\sqrt{H-h} + \sqrt{h}$ (общий множитель $\sqrt{2/g}$ можно опустить). Возведем обе части в квадрат. $(\sqrt{H})^2 = H$. А $(\sqrt{H-h} + \sqrt{h})^2 = (H-h) + h + 2\sqrt{(H-h)h} = H + 2\sqrt{(H-h)h}$.

Поскольку при $0 < h < H$ выражение $2\sqrt{(H-h)h} > 0$, то $(\sqrt{H-h} + \sqrt{h})^2 > H$, а значит $\sqrt{H-h} + \sqrt{h} > \sqrt{H}$. Следовательно, $t_2 > t_1$.

Ответ: Второе тело падает дольше, чем первое (при условии, что площадка находится на высоте $0 < h < H$).

б) У какого тела больше конечная скорость?

Конечная скорость первого тела $v_1$ в момент падения на землю находится из закона сохранения энергии $mgH = \frac{mv_1^2}{2}$:

$v_1 = \sqrt{2gH}$

Найдем конечную скорость второго тела $v_2$. После отскока от площадки оно движется с высоты $h$. Его горизонтальная скорость остается постоянной и равной $v_{2x} = \sqrt{2g(H-h)}$. Вертикальная скорость к моменту падения на землю станет $v_{2y} = gt''_{2} = g\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$.

Модуль конечной скорости второго тела $v_2$ найдем по теореме Пифагора:

$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{(\sqrt{2g(H-h)})^2 + (\sqrt{2gh})^2} = \sqrt{2g(H-h) + 2gh} = \sqrt{2gH - 2gh + 2gh} = \sqrt{2gH}$.

Таким образом, $v_1 = v_2$. Это также следует из закона сохранения механической энергии. Удар о площадку по условию упругий (кинетическая энергия сохраняется), поэтому полная механическая энергия второго тела, как и первого, сохраняется на всем пути. Так как начальные энергии тел равны, то и их конечные скорости будут равны по модулю.

Ответ: Конечные скорости обоих тел одинаковы по модулю.

в) На какой высоте надо разместить площадку, чтобы второе тело упало как можно позже?

Время падения второго тела зависит от высоты площадки $h$ по формуле:

$t_2(h) = \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H-h} + \sqrt{h})$

Чтобы найти максимальное значение этого времени, нужно найти максимум функции $f(h) = \sqrt{H-h} + \sqrt{h}$ на отрезке $[0, H]$. Для этого возьмем производную функции $f(h)$ по $h$ и приравняем ее к нулю.

$f'(h) = \frac{d}{dh}(\sqrt{H-h} + \sqrt{h}) = -\frac{1}{2\sqrt{H-h}} + \frac{1}{2\sqrt{h}}$

Приравняем производную к нулю для поиска точки экстремума:

$f'(h) = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{h}} = \frac{1}{2\sqrt{H-h}}$

$\sqrt{h} = \sqrt{H-h}$

$h = H-h$

$2h = H \implies h = \frac{H}{2}$

Это точка максимума, так как на концах интервала (при $h=0$ и $h=H$) время $t_2$ минимально и равно $t_1$, а внутри интервала, как мы показали в пункте а), оно больше $t_1$.

Ответ: Чтобы второе тело падало как можно дольше, площадку необходимо разместить на высоте $h = 0.5H$.