Номер 3.8, страница 29 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Упражнения - номер 3.8, страница 29.

Условие.

3.8. Футболист бьет по футбольному мячу, лежащему на расстоянии $l = 10$ м от высокой стены; мяч приобретает скорость $v_0 = 15$ м/с под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту. Когда происходит удар мяча о стену — при подъеме или спуске? Чему равны высота $\text{h}$ и скорость $\text{v}$ мяча при этом ударе? Где упадет мяч? При ударе мяча о стену вертикальная составляющая скорости не изменяется, а горизонтальная — изменяет знак. Траектория мяча лежит в плоскости, перпендикулярной стене.

Удар происходит при подъеме мяча; 5,6 м; 10,7 м/с; мяч упадет на расстоянии 13 м от стены.

Решение. Дальность $\text{L}$ полета мяча в отсутствие стены

равна $L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} \approx 23$ (м).

Поскольку $l < 0,5L$, удар происходит при подъеме мяча. Для определения высоты $\text{h}$ воспользуемся уравнением траектории полета (см. решение задачи 3.7), заменив $\text{x}$ на $\text{l}$, $\text{y}$ на $\text{h}$:

$h = l \cdot \operatorname{tg} \alpha - \frac{gl^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} \approx 5,6$ (м).

Скорость $\text{v}$ в точке A можно выразить через ее горизонтальную и вертикальную проекции: $v_A = \sqrt{v_{Ax}^2 + v_{Ay}^2}$. Если учесть, что $v_{Ax} = v_{0x}$, а $v_{Ay}^2 - v_{0y}^2 = -2gh$, получим:

$v_A = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2 - 2gh} = \sqrt{v_0^2 - 2gh} \approx 10,7$ (м/с).

Участок траектории после удара о стену является «зеркальным отражением» траектории, по которой продолжал бы двигаться мяч в отсутствие стены (см. рисунок).

Если стену «убрать», мяч ударится о землю на таком же расстоянии от основания стены, но по другую сторону. Очевидно, это расстояние равно $L - l = 13$ (м).

Решение.

Дано:

Расстояние до стены, $l = 10$ м
Начальная скорость, $v_0 = 15$ м/с
Угол к горизонту, $\alpha = 45^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

а) Когда происходит удар мяча о стену — при подъеме или спуске?
б) Высоту $h$ и скорость $v$ мяча при ударе.
в) Где упадет мяч?

Решение:

а) Когда происходит удар мяча о стену — при подъеме или спуске?

Для ответа на этот вопрос сравним расстояние до стены $l$ с горизонтальным расстоянием, которое мяч пролетает до достижения максимальной высоты. Максимальная высота достигается на половине пути полной дальности полета $L$.

Сначала определим полную дальность полета мяча $L$ в отсутствие стены по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим заданные значения:

$L = \frac{15^2 \cdot \sin(2 \cdot 45^\circ)}{9,8} = \frac{225 \cdot \sin(90^\circ)}{9,8} = \frac{225}{9,8} \approx 22,96$ м.

Максимальная высота подъема достигается на расстоянии $L/2$ от точки старта:

$x_{peak} = L/2 \approx 22,96 / 2 = 11,48$ м.

Стена находится на расстоянии $l = 10$ м. Так как $l < x_{peak}$ ($10$ м $ < 11,48$ м), то мяч ударяется о стену на восходящей ветви траектории, то есть во время подъема.

Ответ: Удар происходит при подъеме мяча.

б) Чему равны высота h и скорость v мяча при этом ударе?

Высоту $h$, на которой произойдет удар, можно найти из уравнения траектории движения $y(x)$, подставив $x=l$:

$h = y(l) = l \cdot \tan\alpha - \frac{gl^2}{2v_0^2 \cos^2\alpha}$

Учитывая, что $\tan(45^\circ) = 1$ и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (следовательно, $\cos^2(45^\circ) = 0,5$), получим:

$h = 10 \cdot 1 - \frac{9,8 \cdot 10^2}{2 \cdot 15^2 \cdot 0,5} = 10 - \frac{980}{225} \approx 10 - 4,36 = 5,64$ м.

Округляя, получаем $h \approx 5,6$ м.

Скорость $v$ мяча в момент удара можно найти из закона сохранения энергии или из кинематического соотношения $v^2 = v_0^2 - 2gh$. Отсюда:

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gh} \approx \sqrt{15^2 - 2 \cdot 9,8 \cdot 5,64} = \sqrt{225 - 110,544} = \sqrt{114,456} \approx 10,7$ м/с.

Ответ: Высота $h \approx 5,6$ м, скорость $v \approx 10,7$ м/с.

в) Где упадет мяч?

По условию, при ударе о стену вертикальная составляющая скорости сохраняется, а горизонтальная меняет направление на противоположное. Это означает, что движение мяча после отскока будет зеркальным отражением той части траектории, которую мяч пролетел бы за стеной, если бы ее не было.

Полная дальность полета без стены составляет $L \approx 22,96$ м. До стены мяч пролетел $l = 10$ м. Следовательно, если бы не стена, он пролетел бы еще $L - l$ по горизонтали.

После отражения от стены мяч пролетит это же расстояние $L-l$ в обратном направлении от стены, прежде чем упасть на землю.

Расстояние от стены до места падения = $L - l \approx 22,96 - 10 = 12,96$ м.

Округляя результат, получаем, что мяч упадет на расстоянии около 13 м от стены.

Ответ: Мяч упадет на расстоянии примерно 13 м от стены.