Номер 3.4, страница 27 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Упражнения - номер 3.4, страница 27.

Условие.

3.4. С отвесного берега высотой $\text{H}$ горизонтально бросают камень со скоростью $v_0$. С какой скоростью $\text{v}$ камень войдет в воду?

Решение. Обозначим время полета камня $\text{t}$. Тогда в момент вхождения в воду скорость камня $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{gt}$. Совместим начало координат с начальным положением камня и направим ось $\text{y}$ вертикально вниз, а ось $\text{x}$ — горизонтально в направлении начальной скорости.

Тогда $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, где $v_x = v_0$, $v_y = gt$. Поскольку $\frac{gt^2}{2} = H$, получаем $v_y^2 = 2gH$.

Таким образом, $v = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$.

Решение.

Дано:

Высота отвесного берега: $H$

Начальная скорость (горизонтальная): $v_0$

Найти:

Скорость камня в момент вхождения в воду: $v$

Решение:

Движение камня, брошенного горизонтально, можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения в горизонтальном направлении и свободного падения (равноускоренного движения) в вертикальном направлении.

Выберем систему координат: начало отсчета в точке броска, ось $Ox$ направим горизонтально в сторону начальной скорости, а ось $Oy$ — вертикально вниз.

В любой момент времени $t$ вектор скорости камня $\vec{v}$ имеет две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$. Модуль скорости (то, что мы ищем) находится по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Рассмотрим каждую составляющую скорости в момент падения камня в воду.

1. Горизонтальная составляющая скорости $v_x$.
Поскольку в горизонтальном направлении на камень не действуют силы (сопротивление воздуха не учитывается), его движение по оси $Ox$ является равномерным. Это означает, что горизонтальная составляющая скорости не изменяется в течение всего полета и равна начальной скорости:

$v_x = v_0$

2. Вертикальная составляющая скорости $v_y$.
В вертикальном направлении камень движется равноускоренно под действием силы тяжести с ускорением свободного падения $g$. Начальная вертикальная скорость равна нулю ($v_{0y} = 0$), так как камень брошен горизонтально. Вертикальная составляющая скорости в момент времени $t$ определяется формулой:

$v_y = v_{0y} + gt = 0 + gt = gt$

Чтобы найти $v_y$ в момент падения, нужно определить время полета $t$. Камень упадет в воду, когда его вертикальное перемещение станет равным высоте берега $H$. Уравнение для вертикального перемещения при равноускоренном движении:

$H = v_{0y}t + \frac{gt^2}{2}$

Подставляя $v_{0y} = 0$, получаем:

$H = \frac{gt^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить $t^2 = \frac{2H}{g}$.

Теперь найдем квадрат вертикальной скорости в момент падения. Так как $v_y = gt$, то $v_y^2 = g^2t^2$. Подставим сюда найденное выражение для $t^2$:

$v_y^2 = g^2 \cdot \left(\frac{2H}{g}\right) = 2gH$

Теперь, зная квадраты обеих компонент скорости ($v_x^2 = v_0^2$ и $v_y^2 = 2gH$), можем найти итоговую скорость $v$:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$

Этот же результат можно получить, используя закон сохранения энергии. Начальная энергия камня (сумма кинетической и потенциальной) равна $E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgH$. Конечная энергия в момент падения в воду (потенциальная энергия равна нулю) равна $E_f = \frac{1}{2}mv^2$. Приравнивая $E_i$ и $E_f$, получаем ту же формулу.

Ответ: Скорость, с которой камень войдет в воду, равна $v = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$.