Номер 10, страница 24 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Кинематика. Механика - номер 10, страница 24.

Условие.

O0. Материальная точка начинает двигаться по прямой с постоянным ускорением $\text{a}$. Спустя время $t_1$ после начала ее движения ускорение меняет знак на противоположный, оставаясь неизменным по модулю.

☑ $t_2 = t_1 (1 + \sqrt{2})$.

Решение. Спустя время $t_1$ материальная точка, двигаясь с ускорением $\text{a}$, пройдет путь $s = \frac{at_1^2}{2}$ и будет иметь скорость $v = at_1$. Выберем координатную ось $Ox$, как показано на рисунке.

$s = at_1^2/2$

$v = at_1$

$0 \quad A \quad x$

Здесь $\text{O}$ — точка, из которой началось движение, $\text{A}$ — та точка, где тело оказалось спустя время $t_1$. Учитывая смену знака ускорения и применяя формулу для пути при равнопеременном движении, найдем время $t_2$, за которое тело переместится из точки $\text{A}$ снова в точку $\text{O}$:

$0 = \frac{at_1^2}{2} + at_1t_2 - \frac{at_2^2}{2}$, отсюда $t_2 = t_1 (1 + \sqrt{2})$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0$
Ускорение на первом этапе (время $t_1$): $a_1 = a$
Ускорение на втором этапе (время $t_2$): $a_2 = -a$
Перемещение за время $t_1 + t_2$ равно нулю.

Найти:

Время второго этапа движения $t_2$.

Решение:

Разобьем движение материальной точки на два этапа.

1. Первый этап движения.
С момента начала движения ($t=0$) до момента времени $t_1$ точка движется с постоянным ускорением $a$. Начальная скорость точки равна нулю ($v_0=0$). Выберем начало отсчета в точке старта ($x_0=0$) и направим ось $Ox$ по направлению начального движения.
Пройденный путь $s_1$ и скорость $v_1$ в конце первого этапа (в момент времени $t_1$) можно найти по формулам равноускоренного движения:
Координата точки в момент $t_1$:
$x_1 = x_0 + v_0 t_1 + \frac{a t_1^2}{2} = 0 + 0 \cdot t_1 + \frac{a t_1^2}{2} = \frac{a t_1^2}{2}$
Скорость точки в момент $t_1$:
$v_1 = v_0 + a t_1 = a t_1$

2. Второй этап движения.
На втором этапе, который длится время $t_2$, точка движется с ускорением $-a$. Начальными условиями для этого этапа являются координата $x_1$ и скорость $v_1$, достигнутые к концу первого этапа. Цель — найти время $t_2$, за которое точка вернется в начальное положение, то есть ее конечная координата будет равна нулю.
Запишем уравнение движения для второго этапа, считая его началом момент времени $t_1$:
$x(t_2) = x_1 + v_1 t_2 + \frac{(-a) t_2^2}{2}$
По условию задачи, в конце второго этапа точка возвращается в начало координат, то есть $x(t_2) = 0$. Подставим в уравнение известные нам выражения для $x_1$ и $v_1$:
$0 = \frac{a t_1^2}{2} + (a t_1) t_2 - \frac{a t_2^2}{2}$
Поскольку $a \ne 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $\frac{2}{a}$:
$0 = t_1^2 + 2t_1 t_2 - t_2^2$
Мы получили квадратное уравнение относительно $t_2$. Запишем его в стандартном виде:
$t_2^2 - 2t_1 t_2 - t_1^2 = 0$
Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$, где в нашем случае $x=t_2$, $A=1$, $B=-2t_1$, $C=-t_1^2$:
$t_2 = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{-(-2t_1) \pm \sqrt{(-2t_1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-t_1^2)}}{2 \cdot 1}$
$t_2 = \frac{2t_1 \pm \sqrt{4t_1^2 + 4t_1^2}}{2} = \frac{2t_1 \pm \sqrt{8t_1^2}}{2}$
$t_2 = \frac{2t_1 \pm \sqrt{4 \cdot 2 \cdot t_1^2}}{2} = \frac{2t_1 \pm 2t_1\sqrt{2}}{2}$
$t_2 = t_1 (1 \pm \sqrt{2})$
Так как время $t_2$ должно быть положительной величиной, а корень $t_1(1-\sqrt{2})$ является отрицательным ($1-\sqrt{2} \approx -0.414$), мы выбираем единственный физически осмысленный корень:
$t_2 = t_1(1 + \sqrt{2})$

Ответ: $t_2 = t_1(1 + \sqrt{2})$