Номер 6, страница 21 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Кинематика. Механика - номер 6, страница 21.

Условие.

О-6. Тело движется равноускоренно без начальной скорости. За какой промежуток времени это тело пройдет пятый метр своего пути, если первый метр оно проходит за 2 с?

☑ 0,47 с.

Решение. Обозначим $l = 1 \text{ м}$, $\text{a}$ — ускорение тела. Тогда из формулы $s = \frac{at^2}{2}$ следует, что первый метр пути тело проходит за время $t_1 = \sqrt{\frac{2l}{a}}$, а $\text{n}$ метров проходит за время $t_n = \sqrt{\frac{2nl}{a}}$. Значит, $\text{n}$-й метр тело проходит за время $t_n - t_{n} = \sqrt{\frac{2nl}{a}} - \sqrt{\frac{2(n)l}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{a}}(\sqrt{n} - \sqrt{n}) = t_1(\sqrt{n} - \sqrt{n}).$

Подставляя в эту формулу $t_1 = 2 \text{ с}$, $n = 5$, получаем, что $t_n - t_{n} = 0,47 \text{ (с)}.$

Решение.

Дано:

Движение: равноускоренное

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с

Путь для первого интервала времени: $s_1 = 1$ м

Время прохождения первого метра: $t_1 = 2$ с

Номер искомого участка пути: $n = 5$

Найти:

$\Delta t_5$ - ?

Решение:

Поскольку тело движется равноускоренно без начальной скорости, пройденный им путь $s$ за время $t$ можно найти по формуле:

$s = \frac{at^2}{2}$

где $a$ — ускорение тела.

Из этой формулы выразим время $t$:

$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

Обозначим через $T_n$ время, за которое тело проходит первые $n$ метров пути. Тогда, подставив $s=n \cdot 1\text{м} = n$, получим:

$T_n = \sqrt{\frac{2n}{a}}$

Время, за которое тело проходит первые $n-1$ метров, соответственно, будет равно:

$T_{n-1} = \sqrt{\frac{2(n-1)}{a}}$

Время $\Delta t_n$, необходимое для прохождения $n$-го метра пути, — это разность между временем прохождения $n$ метров и $n-1$ метров:

$\Delta t_n = T_n - T_{n-1} = \sqrt{\frac{2n}{a}} - \sqrt{\frac{2(n-1)}{a}}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{\frac{2}{a}}$ за скобки:

$\Delta t_n = \sqrt{\frac{2}{a}} (\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$

Из условия задачи нам известно время $t_1$, за которое тело проходит первый метр. Это соответствует случаю, когда $n=1$. Время прохождения первого метра равно:

$t_1 = T_1 - T_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{a}} - \sqrt{\frac{2 \cdot 0}{a}} = \sqrt{\frac{2}{a}}$

Теперь мы можем подставить $t_1$ в выражение для $\Delta t_n$:

$\Delta t_n = t_1 (\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$

Нам нужно найти время прохождения пятого метра пути, то есть $n=5$. Подставим в формулу известные значения $t_1 = 2$ с и $n=5$:

$\Delta t_5 = 2 (\sqrt{5} - \sqrt{5-1}) = 2 (\sqrt{5} - \sqrt{4}) = 2 (\sqrt{5} - 2)$

Для вычисления воспользуемся приближенным значением $\sqrt{5} \approx 2,236$:

$\Delta t_5 \approx 2 (2,236 - 2) = 2 \cdot 0,236 = 0,472$ с

Округляя результат до сотых, получаем $\Delta t_5 \approx 0,47$ с.

Ответ: Тело пройдет пятый метр своего пути за промежуток времени, примерно равный 0,47 с.