Номер 5, страница 15 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 1. Прямолинейное равномерное движение. Олимпиадные задачи - номер 5, страница 15.

Условие.

O-5. В часы наибольшей загруженности метрополитена на каждой из 120 ступенек одного из эскалаторов стоят по два пассажира. Навстречу им движется такая же лента эскалатора и на каждой ступеньке также стоят по два пассажира. Скорость движения обоих эскалаторов одинакова и равна 0,9 м/с. Расстояние между ребрами ступенек $l = 45$ см. Сколько пассажиров, поднимающихся вверх по эскалатору, пройдут мимо дежурного по станции? Сколько встречных пассажиров проезжают мимо человека, стоящего на эскалаторе, движущегося вниз?

☑ 240 и 480 пассажиров.

Решение. Определим длину эскалатора: $s = 120l = 54$ (м).

Теперь вычислим, на какое расстояние переместится некоторая точка ленты эскалатора за 1 мин: $s_1 = vt = 54$ (м).

Итак, $s = s_1$, то есть мимо дежурного по станции пройдут пассажиры, стоящие на 120 ступеньках эскалатора: $n_1 = 240$ пассажиров. Во втором случае относительная скорость движения будет вдвое больше, и за 1 мин мимо пассажира, стоящего на эскалаторе, пройдет 240 ступенек встречного эскалатора, или $n_2 = 480$ пассажиров.

Решение.

Дано:

Количество ступенек на эскалаторе, $N = 120$

Количество пассажиров на одной ступеньке, $k = 2$

Скорость движения эскалатора, $v = 0,9 \text{ м/с}$

Расстояние между ребрами ступенек, $l = 45 \text{ см}$

Промежуток времени для расчета, $t = 1 \text{ мин}$

$l = 45 \text{ см} = 0,45 \text{ м}$

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

$n_1$ — количество пассажиров, поднимающихся вверх, которые пройдут мимо дежурного по станции за 1 минуту.

$n_2$ — количество встречных пассажиров, которые проедут мимо человека, стоящего на эскалаторе, движущемся вниз, за 1 минуту.

Решение:

Сколько пассажиров, поднимающихся вверх по эскалатору, пройдут мимо дежурного по станции?

Дежурный по станции является неподвижным наблюдателем. Пассажиры на эскалаторе движутся мимо него со скоростью эскалатора $v$. Чтобы найти количество пассажиров, прошедших мимо дежурного за время $t$, нужно определить, какой длины участок эскалатора пройдет мимо него за это время.

Длина участка ленты $S_1$, прошедшего мимо дежурного, рассчитывается по формуле:

$S_1 = v \cdot t$

$S_1 = 0,9 \text{ м/с} \cdot 60 \text{ с} = 54 \text{ м}$

Теперь определим, сколько ступенек $N_1$ находится на этом участке ленты, разделив его длину на расстояние между ступеньками $l$:

$N_1 = \frac{S_1}{l} = \frac{54 \text{ м}}{0,45 \text{ м}} = 120 \text{ ступенек}$

Поскольку на каждой ступеньке стоит $k = 2$ пассажира, общее количество пассажиров $n_1$, которые пройдут мимо дежурного, равно:

$n_1 = N_1 \cdot k = 120 \cdot 2 = 240 \text{ пассажиров}$

Ответ: 240 пассажиров.

Сколько встречных пассажиров проезжают мимо человека, стоящего на эскалаторе, движущегося вниз?

В этом случае мы имеем дело с относительным движением. Наблюдатель находится на эскалаторе, движущемся вниз со скоростью $v$, а встречные пассажиры — на другом эскалаторе, движущемся вверх со скоростью $v$. Так как направления движения противоположны, их относительная скорость $v_{отн}$ равна сумме их скоростей:

$v_{отн} = v + v = 2v$

$v_{отн} = 2 \cdot 0,9 \text{ м/с} = 1,8 \text{ м/с}$

За время $t$ мимо наблюдателя пройдет участок встречного эскалатора длиной $S_2$:

$S_2 = v_{отн} \cdot t$

$S_2 = 1,8 \text{ м/с} \cdot 60 \text{ с} = 108 \text{ м}$

Определим количество ступенек $N_2$ на этом участке:

$N_2 = \frac{S_2}{l} = \frac{108 \text{ м}}{0,45 \text{ м}} = 240 \text{ ступенек}$

Так как на каждой из этих ступенек находится $k=2$ пассажира, общее количество встречных пассажиров $n_2$ равно:

$n_2 = N_2 \cdot k = 240 \cdot 2 = 480 \text{ пассажиров}$

Ответ: 480 пассажиров.