Номер 4, страница 14 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 1. Прямолинейное равномерное движение. Олимпиадные задачи - номер 4, страница 14.

Условие.

O-4. По прямому шоссе движется автобус со скоростью $v_1 = 16$ м/с. Впереди по ходу автобуса в поле на расстоянии $d = 60$ м от шоссе и $s = 400$ м от автобуса находится человек, который может бежать со скоростью $v_2 = 4$ м/с. В каком направлении он должен бежать, чтобы успеть «перехватить» автобус? При какой наименьшей скорости человека $v_{2min}$ это возможно? В каком направлении следует бежать с такой скоростью?

☑ $37^\circ < \beta < 143^\circ$ (см. рисунок); $v_{2min} = 2,4$ м/с, $\beta = 90^\circ$.

Решение. Пусть автобус находится в точке A, а человек — в точке B. Найдем, под каким углом $\beta$ к линии AB должен бежать человек, чтобы оказаться на шоссе в некоторой точке C до того, как там окажется автобус, или одновременно с ним. Время движения автобуса $t_1 = AC/v_1$, время движения человека $t_2 = BC/v_2 \leq t_1$. Отсюда $AC/BC \geq v_1/v_2$. Применяя теорему синусов к треугольнику ABC и учитывая, что $\sin \alpha = d/s$, получаем $\sin \beta \geq v_1 d / (v_2 s)$. Отсюда $37^\circ < \beta < 143^\circ$.

Человек может «перехватить» автобус при условии $v_1 d / (v_2 s) \leq 1$, откуда $v_{2min} = v_1 d / s = 2,4$ (м/с). При такой скорости угол $\beta$ равен $90^\circ$, т. е. человек должен бежать под прямым углом к направлению на автобус (а не к дороге!).

Решение.

Дано:

$v_1 = 16$ м/с

$d = 60$ м

$s = 400$ м

$v_2 = 4$ м/с (для первого вопроса)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Диапазон углов $\beta$, при которых человек может перехватить автобус при $v_2 = 4$ м/с.

2. Минимальную скорость человека $v_{2min}$, при которой перехват возможен.

3. Направление бега (угол $\beta$) при скорости $v_{2min}$.

Решение:

Пусть начальное положение автобуса — точка А, а человека — точка В. Точка С — место встречи на шоссе. Для того чтобы человек успел «перехватить» автобус, время его движения $t_2$ до точки С должно быть не больше времени движения автобуса $t_1$ до той же точки.

$t_2 \le t_1$

Время движения человека: $t_2 = \frac{BC}{v_2}$.

Время движения автобуса: $t_1 = \frac{AC}{v_1}$.

Таким образом, условие перехвата: $\frac{BC}{v_2} \le \frac{AC}{v_1}$, или $\frac{AC}{BC} \ge \frac{v_1}{v_2}$.

Рассмотрим треугольник АВС. По теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin\beta} = \frac{BC}{\sin\alpha}$

Отсюда получаем отношение сторон: $\frac{AC}{BC} = \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$.

Подставим это в условие перехвата:

$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} \ge \frac{v_1}{v_2}$, что эквивалентно $\sin\beta \ge \frac{v_1}{v_2}\sin\alpha$.

Из геометрии задачи (см. рисунок) видно, что $\sin\alpha = \frac{d}{s}$.

Тогда окончательное условие для возможности перехвата выглядит так:

$\sin\beta \ge \frac{v_1 d}{v_2 s}$

Теперь ответим на вопросы задачи.

В каком направлении он должен бежать, чтобы успеть «перехватить» автобус?

Подставим в неравенство известные значения: $v_1 = 16$ м/с, $v_2 = 4$ м/с, $d = 60$ м, $s = 400$ м.

$\sin\beta \ge \frac{16 \cdot 60}{4 \cdot 400} = \frac{960}{1600} = 0.6$

Найдем граничные углы. Минимальный угол $\beta_{min}$ соответствует равенству $\sin\beta_{min} = 0.6$.

$\beta_{min} = \arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ \approx 37^\circ$

Максимальный угол $\beta_{max}$ в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ также удовлетворяет этому условию:

$\beta_{max} = 180^\circ - \beta_{min} \approx 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$

Таким образом, человек успеет перехватить автобус, если будет бежать в направлении, составляющем с линией АВ угол $\beta$ в диапазоне от $37^\circ$ до $143^\circ$.

Ответ: чтобы успеть "перехватить" автобус, человек должен бежать под углом $\beta$ к линии, соединяющей его с автобусом, в диапазоне $37^\circ \le \beta \le 143^\circ$.

При какой наименьшей скорости человека $v_{2min}$ это возможно?

Перехват возможен, если неравенство $\sin\beta \ge \frac{v_1 d}{v_2 s}$ имеет хотя бы одно решение для угла $\beta$. Поскольку максимальное значение $\sin\beta$ равно 1, правая часть неравенства не должна превышать 1:

$\frac{v_1 d}{v_2 s} \le 1$

Выразим отсюда скорость человека $v_2$:

$v_2 \ge \frac{v_1 d}{s}$

Следовательно, минимально возможная скорость человека $v_{2min}$ равна:

$v_{2min} = \frac{v_1 d}{s} = \frac{16 \cdot 60}{400} = \frac{960}{400} = 2.4$ м/с.

Ответ: наименьшая скорость, при которой возможен перехват, составляет $v_{2min} = 2.4$ м/с.

В каком направлении следует бежать с такой скоростью?

Если человек бежит с минимальной скоростью $v_{2min} = 2.4$ м/с, то условие перехвата принимает вид:

$\sin\beta \ge \frac{v_1 d}{v_{2min} s} = \frac{16 \cdot 60}{2.4 \cdot 400} = \frac{960}{960} = 1$

Единственное решение неравенства $\sin\beta \ge 1$ — это $\sin\beta = 1$. Это возможно только при угле $\beta = 90^\circ$.

Физически это означает, что человек должен бежать перпендикулярно первоначальному направлению на автобус (линии АВ).

Ответ: с наименьшей скоростью $2.4$ м/с следует бежать под углом $\beta = 90^\circ$ к линии, соединяющей начальные положения человека и автобуса.