Номер 3, страница 13 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 1. Прямолинейное равномерное движение. Кинематика. Механика - номер 3, страница 13.

Условие.

O-3. Человек находится на берегу озера в точке А и хочет в кратчайшее время попасть в точку B, находящуюся на озере (см. рисунок). Скорость движения человека в воде $v_1$, а по берегу $v_2$. По какой траектории следует двигаться человеку, если $v_2 > v_1$?

Решение. Из-за того, что скорость движения по берегу больше, чем в воде, движение по кратчайшему пути (по прямой AB) может не соответствовать кратчайшему времени: для сокращения времени надо войти в воду в точке D (см. рисунок ниже), сократив путь в воде за счет удлинения пути по берегу. Найдем, при каком значении $DC = x$ (см. рисунок) время движения будет наименьшим.

Это время $t = \frac{s-x}{v_2} + \frac{\sqrt{d^2+x^2}}{v_1} = \frac{v_1s - v_1x + v_2\sqrt{d^2+x^2}}{v_1v_2}$

Наименьшее значение $\text{t}$ соответствует наименьшему значению функции $y(x)=-v_1x + v_2\sqrt{d^2+x^2}$ на промежутке от $\text{0}$ до $\text{s}$. Эта функция имеет минимум при $x_0 = d v_1 / \sqrt{v_2^2 - v_1^2}$ (это можно доказать, исследовав производную $y'(x)$).

Следовательно, если $x_0 < s$, то надо двигаться по берегу до точки D, а потом плыть к В. Если же $x_0 \ge s$, то надо сразу войти в воду и плыть по прямой к В.

Решение.

Дано:

Скорость движения человека в воде: $v_1$
Скорость движения человека по берегу: $v_2$
Условие: $v_2 > v_1$
Горизонтальное расстояние от точки А до проекции точки B на берег (точка C): $AC = s$
Вертикальное расстояние от точки B до берега: $BC = d$

Все величины представлены в общем виде, предполагается их соответствие системе СИ.

Найти:

Оптимальную траекторию движения из точки А в точку B, обеспечивающую кратчайшее время в пути.

Решение:

Для того чтобы минимизировать общее время в пути, человек может выбрать комбинированную траекторию: сначала пройти некоторое расстояние по берегу, а затем плыть к точке B. Пусть человек проходит по берегу от точки A до точки D, а затем плывет от D до B.

Обозначим расстояние $DC = x$. Тогда расстояние, которое человек пройдет по берегу, будет $AD = AC - DC = s - x$. Точка D может находиться в любом месте на отрезке AC, поэтому $x$ может изменяться в пределах от $0$ до $s$.

Расстояние, которое человек проплывет в воде, равно длине гипотенузы DB в прямоугольном треугольнике DCB. По теореме Пифагора: $DB = \sqrt{DC^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + d^2}$

Время движения по берегу ($t_{берег}$) и время движения в воде ($t_{вода}$) равны: $t_{берег} = \frac{AD}{v_2} = \frac{s - x}{v_2}$
$t_{вода} = \frac{DB}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + d^2}}{v_1}$

Общее время движения $t$ является функцией от $x$: $t(x) = t_{берег} + t_{вода} = \frac{s - x}{v_2} + \frac{\sqrt{x^2 + d^2}}{v_1}$

Чтобы найти минимальное время, нужно найти минимум функции $t(x)$ на отрезке $[0, s]$. Для этого найдем производную функции $t(x)$ по $x$ и приравняем ее к нулю. $t'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{s - x}{v_2} + \frac{\sqrt{x^2 + d^2}}{v_1} \right) = -\frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_1} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + d^2}} = -\frac{1}{v_2} + \frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + d^2}}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критической точки $x_0$: $t'(x) = 0 \implies \frac{x_0}{v_1\sqrt{x_0^2 + d^2}} = \frac{1}{v_2}$

Выразим $x_0$: $x_0 v_2 = v_1\sqrt{x_0^2 + d^2}$
Возведем обе части в квадрат: $x_0^2 v_2^2 = v_1^2 (x_0^2 + d^2)$
$x_0^2 v_2^2 = v_1^2 x_0^2 + v_1^2 d^2$
$x_0^2 v_2^2 - v_1^2 x_0^2 = v_1^2 d^2$
$x_0^2 (v_2^2 - v_1^2) = v_1^2 d^2$
$x_0^2 = \frac{v_1^2 d^2}{v_2^2 - v_1^2}$
$x_0 = \frac{v_1 d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$ (берем положительный корень, так как $x$ - расстояние).

Теперь необходимо проанализировать полученное значение $x_0$ с учетом того, что точка D должна лежать на отрезке AC, то есть $0 \le x_0 \le s$.

Случай 1: $x_0 \le s$, то есть $\frac{v_1 d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}} \le s$.
В этом случае точка D, соответствующая минимальному времени, находится на отрезке AC. Оптимальная траектория — двигаться по берегу от A до точки D, находящейся на расстоянии $s - x_0$ от А (или $x_0$ от С), а затем плыть напрямую к B.
Интересно, что условие $t'(x)=0$ можно переписать через угол $\alpha$ между отрезком DB и перпендикуляром BC. Из треугольника DCB имеем $\sin \alpha = \frac{DC}{DB} = \frac{x}{\sqrt{x^2+d^2}}$. Тогда условие минимума принимает вид $\frac{\sin \alpha}{v_1} = \frac{1}{v_2}$, или $\frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1} = \frac{v_2}{v_1}$, где $\alpha_2 = 90^\circ$ — "угол падения". Это аналог закона преломления света Снеллиуса.

Случай 2: $x_0 > s$, то есть $\frac{v_1 d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}} > s$.
В этом случае точка, в которой производная равна нулю, лежит за пределами отрезка AC. Поскольку вторая производная $t''(x)$ положительна, функция $t(x)$ является выпуклой вниз, и ее минимум на отрезке $[0, s]$ будет достигаться на границе. Так как точка экстремума $x_0$ находится правее $s$, функция $t(x)$ на отрезке $[0, s]$ убывает. Следовательно, наименьшее значение будет при $x = s$. Это соответствует случаю, когда точка D совпадает с точкой A. Оптимальная траектория — сразу войти в воду в точке A и плыть напрямую к B.

Ответ:

Необходимо вычислить значение $x_0 = \frac{v_1 d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$.

1. Если $x_0 \le s$, то оптимальная траектория — двигаться по берегу из точки A до точки D, находящейся на расстоянии $s - x_0$ от A, а затем плыть по прямой DB к точке B.

2. Если $x_0 > s$, то оптимальная траектория — не двигаться по берегу, а сразу плыть из точки A в точку B по прямой AB.