Номер 1.10, страница 11 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 1. Прямолинейное равномерное движение. Кинематика. Механика - номер 1.10, страница 11.

Условие.

1.10. У двух туристов один велосипед, на котором может ехать только один человек. Как туристам воспользоваться велосипедом, чтобы обоим прибыть на базу в кратчайший срок?

Решение. Туристы прибудут на базу одновременно и в кратчайший срок, если каждый из туристов полпути проедет на велосипеде и полпути пройдет пешком. Действительно, в любом другом случае одному из туристов придется идти пешком больше, чем полпути, вследствие чего он затратит на дорогу больше времени, чем если бы он шел только полпути.

Решение.

Для того чтобы оба туриста прибыли на базу в кратчайший срок, они должны прибыть туда одновременно. Если один из них прибудет раньше другого, общее время будет равно времени прибытия последнего туриста. Следовательно, задача сводится к поиску такой стратегии, при которой время в пути для обоих туристов будет одинаковым и минимальным.

Дано

$S$ – общее расстояние до базы.

$v_п$ – скорость туриста пешком.

$v_в$ – скорость туриста на велосипеде.

По условию, $v_в > v_п$.

Найти:

Оптимальную стратегию передвижения, при которой общее время прибытия на базу $T$ будет минимальным.

Решение

Рассмотрим наиболее эффективную стратегию, при которой велосипед не простаивает и постоянно движется в сторону базы. Первый турист (Т1) начинает путь на велосипеде, а второй (Т2) — одновременно с ним пешком. Проехав некоторое расстояние $x$, Т1 оставляет велосипед и продолжает путь до базы пешком. Т2, дойдя до места, где Т1 оставил велосипед, садится на него и едет оставшуюся часть пути до базы.

Выразим время, которое затратит на весь путь каждый из туристов.

Время первого туриста (Т1) складывается из времени езды на велосипеде ($x/v_в$) и времени ходьбы пешком ($(S-x)/v_п$):

$t_1 = \frac{x}{v_в} + \frac{S-x}{v_п}$

Время второго туриста (Т2) складывается из времени ходьбы пешком до велосипеда ($x/v_п$) и времени езды на велосипеде до базы ($(S-x)/v_в$). Важно отметить, что Т2 не придется ждать велосипед, так как он дойдет до точки $x$ в момент времени $x/v_п$, а Т1 оставит его там раньше, в момент $x/v_в$ (поскольку $v_в > v_п$). Таким образом, общее время Т2 в пути составит:

$t_2 = \frac{x}{v_п} + \frac{S-x}{v_в}$

Условие одновременного прибытия (которое и обеспечивает минимальное общее время) — это $t_1 = t_2$. Приравняем выражения для времени:

$\frac{x}{v_в} + \frac{S-x}{v_п} = \frac{x}{v_п} + \frac{S-x}{v_в}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$\frac{S-x}{v_п} - \frac{x}{v_п} = \frac{S-x}{v_в} - \frac{x}{v_в}$

$\frac{S-2x}{v_п} = \frac{S-2x}{v_в}$

Перенесем все в левую часть:

$(S-2x) \cdot (\frac{1}{v_п} - \frac{1}{v_в}) = 0$

Поскольку скорость на велосипеде больше скорости пешком ($v_в > v_п$), то выражение в скобках $(\frac{1}{v_п} - \frac{1}{v_в})$ не равно нулю. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы:

$S-2x = 0$

$x = \frac{S}{2}$

Таким образом, чтобы прибыть одновременно и в кратчайший срок, туристы должны поменяться ровно на середине пути. Это означает, что каждый из них должен проехать на велосипеде половину дистанции и пройти пешком другую половину. Любое отклонение от этой стратегии приведет к тому, что один из туристов прибудет на базу позже другого, тем самым увеличив общее время.

Ответ: Чтобы обоим туристам прибыть на базу в кратчайший срок, им следует организовать свое передвижение так, чтобы каждый из них проехал на велосипеде ровно половину пути и прошел пешком вторую половину. Практически это выглядит так: первый турист едет на велосипеде до середины пути, оставляет его там и продолжает путь пешком. Второй турист в это время идет пешком до середины пути, забирает оставленный велосипед и на нем доезжает до базы.