Номер 1.3, страница 7 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 1. Прямолинейное равномерное движение. Кинематика. Механика - номер 1.3, страница 7.

Условие.

1.3. Мешает или помогает течение переплыть реку: а) за кратчайшее время? б) по кратчайшему пути? Считайте, что ширина реки и скорость течения всюду одинаковы.

Решение. Если держать курс под прямым углом к берегу (т. е. если скорость пловца относительно воды направлена перпендикулярно берегу), то пловца будет сносить вниз по течению. Поскольку течение не приближает пловца к противоположному берегу и не удаляет от него, кратчайшее время переправы не зависит от скорости течения. А вот для переправы по кратчайшему пути следует держать курс вверх по течению, чтобы скорость относительно берега $\vec{v} = \vec{v}_{\text{пл}} + \vec{v}_{\text{т}}$ была перпендикулярна берегу. Поскольку $v < v_{\text{пл}}$ (см. рисунок), течение мешает переплыть реку по кратчайшему пути. При $v_{\text{пл}} < v_{\text{т}}$ такая переправа невозможна.

Решение.

а) за кратчайшее время?

Пусть ширина реки равна $L$, скорость пловца относительно воды — $\vec{v}_{пл}$, а скорость течения — $\vec{v}_{т}$. Результирующая скорость пловца относительно берега равна векторной сумме этих скоростей: $\vec{v} = \vec{v}_{пл} + \vec{v}_{т}$.

Время, за которое пловец пересекает реку, определяется компонентой его скорости, перпендикулярной берегам. Обозначим эту компоненту $v_{\perp}$. Тогда время переправы $t = L / v_{\perp}$. Чтобы время $t$ было минимальным, скорость $v_{\perp}$ должна быть максимальной.

Скорость течения $\vec{v}_{т}$ направлена параллельно берегам, поэтому её перпендикулярная составляющая равна нулю. Следовательно, перпендикулярная составляющая результирующей скорости пловца $v_{\perp}$ равна перпендикулярной составляющей его собственной скорости относительно воды $v_{пл, \perp}$.

Чтобы максимизировать эту компоненту, пловец должен направить всю свою скорость перпендикулярно берегу. В этом случае $v_{\perp} = v_{пл}$, а минимальное время переправы составит $t_{min} = L / v_{пл}$.

Как видно из формулы, это время зависит только от ширины реки и собственной скорости пловца и не зависит от скорости течения. Течение лишь сносит пловца вниз по реке, но не влияет на время пересечения.

Ответ: Течение не мешает и не помогает переплыть реку за кратчайшее время.

б) по кратчайшему пути?

Кратчайший путь через реку — это прямая, перпендикулярная берегам. Длина этого пути равна ширине реки $L$. Чтобы двигаться по этому пути, результирующая скорость пловца относительно берега $\vec{v}$ должна быть направлена строго перпендикулярно берегу.

Поскольку $\vec{v} = \vec{v}_{пл} + \vec{v}_{т}$, для того чтобы вектор $\vec{v}$ был перпендикулярен берегу, необходимо, чтобы составляющая скорости пловца вдоль берега компенсировала скорость течения. То есть, пловец должен плыть под некоторым углом против течения.

В этом случае часть усилий пловца (часть его скорости $\vec{v}_{пл}$) уходит на борьбу с течением. Скорость, с которой пловец пересекает реку (компонента скорости, перпендикулярная берегу), будет меньше его полной скорости относительно воды. Из векторного треугольника скоростей (как на рисунке) по теореме Пифагора можно найти модуль результирующей скорости: $v = \sqrt{v_{пл}^2 - v_т^2}$.

Эта скорость $v$ очевидно меньше, чем $v_{пл}$ (скорость, с которой пловец пересекал бы реку в стоячей воде). Уменьшение скорости пересечения означает, что течение замедляет пловца и мешает ему.

Стоит также отметить, что такая переправа возможна только при условии, что скорость пловца относительно воды не меньше скорости течения ($v_{пл} \ge v_т$). Если течение быстрее, чем может плыть пловец ($v_{пл} < v_т$), то он не сможет полностью скомпенсировать снос и переплыть реку по кратчайшему пути будет невозможно.

Ответ: Течение мешает переплыть реку по кратчайшему пути.