Номер 1.5, страница 8 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 1. Прямолинейное равномерное движение. Кинематика. Механика - номер 1.5, страница 8.

Условие.

1.5. Капли дождя падают отвесно со скоростью $\text{u}$. а) Одно ведро стоит в кузове автомобиля, движущегося со скоростью $\text{v}$, а другое — у обочины дороги. В каком ведре окажется больше дождевой воды? Во сколько раз больше? б) По дороге катится мяч со скоростью $\text{v}$. Другой такой же мяч лежит неподвижно. На какой мяч попадает больше капель? Во сколько раз больше?

Решение. а) Количество капель, ежесекундно попадающих в ведро, зависит только от вертикальной составляющей скорости капель относительно ведра, а движение автомобиля изменяет только горизонтальную составляющую этой скорости. Поэтому количество дождевой воды в обоих ведрах будет одинаковым. б) Количество капель, ежесекундно попадающих на мяч, пропорционально модулю скорости $\vec{v}_{км}$ капель относительно мяча и не зависит от направления этой скорости (поскольку мяч круглый). Согласно правилу сложения скоростей $\vec{v}_{км} = \vec{u} - \vec{v}$, откуда (см. рисунок) $v_{км} = \sqrt{u^2 + v^2}$. Следовательно, на катящийся мяч попадет капель в $\sqrt{1 + v^2/u^2}$ раз больше.

Решение.

Дано:

$u$ – скорость вертикального падения капель дождя.

$v$ – горизонтальная скорость автомобиля (в пункте а) и мяча (в пункте б).

Найти:

а) В каком ведре окажется больше воды и во сколько раз?

б) На какой мяч попадет больше капель и во сколько раз?

Решение:

а) Количество дождевой воды, попадающей в ведро, определяется потоком капель через его горизонтальное отверстие. Этот поток зависит от площади отверстия и вертикальной составляющей скорости капель относительно этого отверстия.

Рассмотрим два случая:

1. Ведро у обочины (неподвижное). Скорость капель относительно ведра равна $\vec{u}$, ее вертикальная составляющая равна $u$.

2. Ведро в кузове автомобиля. Автомобиль движется горизонтально со скоростью $\vec{v}$. Скорость капель относительно автомобиля (и ведра в нем) находится по правилу сложения скоростей: $\vec{u}_{отн} = \vec{u} - \vec{v}$. Так как вектор $\vec{u}$ направлен вертикально, а вектор $\vec{v}$ – горизонтально, они перпендикулярны. Вертикальная составляющая относительной скорости $\vec{u}_{отн}$ равна вертикальной составляющей скорости $\vec{u}$, то есть $u$. Горизонтальное движение автомобиля изменяет только горизонтальную составляющую относительной скорости капель, которая становится равной $-v$.

Поскольку вертикальная составляющая скорости капель относительно отверстия ведра в обоих случаях одинакова и равна $u$, а площади отверстий ведер одинаковы, то в единицу времени в оба ведра будет попадать одинаковое количество капель. Следовательно, количество дождевой воды в обоих ведрах будет одинаковым.

Ответ: Количество воды в обоих ведрах будет одинаковым.

б) В отличие от ведра, капли могут попадать на поверхность мяча с любой стороны. Количество капель, сталкивающихся с мячом в единицу времени, пропорционально модулю скорости капель относительно мяча и площади поперечного сечения мяча. Так как мяч имеет сферическую форму, его площадь поперечного сечения не зависит от направления движения капель.

1. Неподвижный мяч. Скорость капель относительно мяча равна $\vec{u}$. Модуль этой скорости равен $u$. Число капель, попадающих на мяч в единицу времени, $N_{1}$, пропорционально $u$: $N_{1} \propto u$.

2. Катящийся мяч. Мяч движется горизонтально со скоростью $\vec{v}$. Скорость капель относительно мяча равна $\vec{v}_{отн} = \vec{u} - \vec{v}$. Так как векторы $\vec{u}$ (вертикальный) и $\vec{v}$ (горизонтальный) перпендикулярны, модуль относительной скорости можно найти по теореме Пифагора:

$v_{отн} = |\vec{v}_{отн}| = \sqrt{u^2 + v^2}$

Число капель, попадающих на катящийся мяч в единицу времени, $N_{2}$, пропорционально модулю относительной скорости $v_{отн}$: $N_{2} \propto \sqrt{u^2 + v^2}$.

Чтобы найти, во сколько раз больше капель попадет на катящийся мяч, найдем отношение $N_{2}$ к $N_{1}$:

$\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{\sqrt{u^2 + v^2}}{u} = \sqrt{\frac{u^2 + v^2}{u^2}} = \sqrt{1 + \frac{v^2}{u^2}}$

Таким образом, на катящийся мяч попадет больше капель.

Ответ: На катящийся мяч попадет больше капель в $\sqrt{1 + v^2/u^2}$ раз.