Номер 1.9, страница 10 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 1. Прямолинейное равномерное движение. Упражнения - номер 1.9, страница 10.

Условие.

1.9. Человек идет по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек, пробежав весь эскалатор. Во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

☑ 100.

Решение. Обозначим число ступенек, приходящихся на единицу длины эскалатора, $n/l$. Время пребывания человека на эскалаторе в обоих случаях равно соответственно:

$t_1 = \frac{l}{v_э + v_ч}$ и $t_2 = \frac{l}{v_э + 3v_ч}$.

Путь, пройденный человеком по эскалатору, $s_1 = v_ч \cdot t_1$ и $s_2 = 3v_ч \cdot t_2$.

Человек насчитает в обоих случаях следующее число ступенек:

$n_1 = s_1 \frac{n}{l} = \frac{v_ч \cdot l}{v_э + v_ч} \frac{n}{l} = \frac{v_ч}{v_э + v_ч} n$;

$n_2 = s_2 \frac{n}{l} = \frac{3v_ч \cdot l}{v_э + 3v_ч} \frac{n}{l} = \frac{3v_ч}{v_э + 3v_ч} n$.

Обозначим $x = \frac{v_э}{v_ч}$. Тогда получим систему двух уравнений для двух неизвестных ($\text{x}$ и $\text{n}$): $n_1 = \frac{1}{x+1} n$; $n_2 = \frac{3}{x+3} n$.

Решая систему относительно n, получаем:

$n = \frac{2n_1 n_2}{3n_1 - n_2} = \frac{2 \cdot 50 \cdot 75}{3 \cdot 50 - 75} = 100.$

Решение.

Дано:

$n_1 = 50$ — количество ступенек, которые человек насчитал в первый раз.
$n_2 = 75$ — количество ступенек, которые человек насчитал во второй раз.
$v_{ч2} = 3v_{ч1}$ — скорость человека во втором случае втрое больше, чем в первом.

Найти:

$N$ — общее количество ступенек на неподвижном эскалаторе.

Решение:

Обозначим через $N$ общее количество ступенек на неподвижном эскалаторе. Пусть $v_э$ — скорость эскалатора (в ступеньках в секунду), а $v_{ч1}$ — скорость человека относительно эскалатора в первом случае (в ступеньках в секунду). Согласно условию, во втором случае скорость человека относительно эскалатора была втрое больше, то есть $v_{ч2} = 3v_{ч1}$.

Полная скорость человека относительно земли является суммой его собственной скорости и скорости эскалатора. Время движения по эскалатору ($t$) можно найти, разделив общее число ступенек ($N$) на полную скорость.

В первом случае время движения $t_1 = \frac{N}{v_{ч1} + v_э}$.

Во втором случае время движения $t_2 = \frac{N}{v_{ч2} + v_э} = \frac{N}{3v_{ч1} + v_э}$.

Количество ступенек, которое насчитывает человек ($n$), равно его скорости относительно эскалатора ($v_ч$), умноженной на время движения ($t$), то есть $n = v_ч \cdot t$.

Для первого случая ($n_1 = 50$):
$50 = v_{ч1} \cdot t_1 = v_{ч1} \cdot \frac{N}{v_{ч1} + v_э}$.

Для второго случая ($n_2 = 75$):
$75 = v_{ч2} \cdot t_2 = 3v_{ч1} \cdot \frac{N}{3v_{ч1} + v_э}$.

Мы получили систему из двух уравнений. Преобразуем их, разделив в первом уравнении числитель и знаменатель дроби на $v_{ч1}$, а во втором — на $v_{ч1}$:
$50 = \frac{N}{1 + \frac{v_э}{v_{ч1}}}$ (1)
$75 = \frac{3N}{3 + \frac{v_э}{v_{ч1}}}$ (2)

Обозначим отношение скоростей $x = \frac{v_э}{v_{ч1}}$. Система примет вид:
$50 = \frac{N}{1 + x}$
$75 = \frac{3N}{3 + x}$

Из первого уравнения выразим $N$:
$N = 50(1 + x)$.

Подставим это выражение для $N$ во второе уравнение:
$75 = \frac{3 \cdot 50(1 + x)}{3 + x}$
$75(3 + x) = 150(1 + x)$

Разделим обе части уравнения на 75:
$3 + x = 2(1 + x)$
$3 + x = 2 + 2x$
$x = 1$.

Это означает, что скорость эскалатора равна начальной скорости человека ($v_э = v_{ч1}$). Теперь найдем $N$, подставив $x = 1$ в выражение для $N$:
$N = 50(1 + 1) = 50 \cdot 2 = 100$.

Ответ: на неподвижном эскалаторе человек насчитал бы 100 ступенек.