Номер 2, страница 12 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 1. Прямолинейное равномерное движение. Кинематика. Механика - номер 2, страница 12.

Условие.

O-2. Две свечи одинаковой длины $\text{l}$ зажгли одновременно и поставили на столе между двумя стенами, как показано на рисунке. При этом оказалось, что тень первой свечи (на левой стене) неподвижна, а тень второй свечи (на правой стене) укорачивается со скоростью $\text{v}$. Через какое время и какая свеча погаснет первой? Через какое время погаснет и другая свеча?

Решение. Пусть за время $\Delta t$ длина первой свечи уменьшилась на $\Delta h_1$, а второй — на $\Delta h_2$. Тень на правой стене опустилась за это время на $v\Delta t$. Воспользуемся подобием трех треугольников (см. рисунок).

Из подобия следует:

$\frac{\Delta h_1}{d_1} = \frac{\Delta h_2}{d_1+d_2} = \frac{v\cdot \Delta t}{d_1+d_2+d_3}$. Отсюда находим скорость укорачивания каждой из свечей:

$\frac{\Delta h_1}{\Delta t} = v \cdot \frac{d_1}{d_1+d_2+d_3}$,

$\frac{\Delta h_2}{\Delta t} = v \cdot \frac{d_1+d_2}{d_1+d_2+d_3}$.

Время полного сгорания каждой из свечей:

$t_1 = \frac{l\cdot \Delta t}{\Delta h_1} = \frac{l(d_1+d_2+d_3)}{v\cdot d_1}$,

$t_2 = \frac{l\cdot \Delta t}{\Delta h_2} = \frac{l(d_1+d_2+d_3)}{v\cdot (d_1+d_2)}$.

Естественно, $t_2 < t_1$ — первой сгорит вторая свеча.

Решение.

Дано:

Две свечи одинаковой начальной длины $l$.
Расстояния, указанные на схеме: $d_1, d_2, d_3$.
Тень от первой свечи на левой стене неподвижна.
Скорость укорачивания тени второй свечи на правой стене: $v$.

Найти:

$t_1$ — время полного сгорания первой свечи.
$t_2$ — время полного сгорания второй свечи.
Определить, какая свеча погаснет первой.

Решение:

Рассмотрим геометрию образования теней. Пусть в начальный момент времени $t=0$ обе свечи имеют длину $l$. Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости сгорания (укорачивания) первой и второй свечи соответственно. Тогда в любой момент времени $t$ их длины равны $h_1(t) = l - v_1 t$ и $h_2(t) = l - v_2 t$.

Тень первой свечи на левой стене создается пламенем второй свечи. Тот факт, что эта тень неподвижна, означает, что луч света, идущий от пламени второй свечи и касающийся верхушки первой свечи, всегда пересекает левую стену на одной и той же высоте. Это возможно только в том случае, если прямая, соединяющая верхушки обеих свечей, всегда проходит через одну и ту же точку. Анализ показывает, что эта точка находится на левой стене на высоте начальной длины свечей $l$.

Из этого условия можно построить подобные треугольники. Рассмотрим треугольники, образованные горизонтальной линией, проходящей на начальной высоте $l$, и прямой, соединяющей верхушки пламени свечей. За малый промежуток времени $\Delta t$ первая свеча укоротится на $\Delta h_1 = v_1 \Delta t$, а вторая — на $\Delta h_2 = v_2 \Delta t$. Тень на правой стене, создаваемая пламенем первой свечи, укоротится на $\Delta H = v \Delta t$.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{\Delta h_1}{d_1} = \frac{\Delta h_2}{d_1 + d_2} = \frac{\Delta H}{d_1 + d_2 + d_3}$

Подставим значения $\Delta h_1, \Delta h_2$ и $\Delta H$:

$\frac{v_1 \Delta t}{d_1} = \frac{v_2 \Delta t}{d_1 + d_2} = \frac{v \Delta t}{d_1 + d_2 + d_3}$

Сократив на $\Delta t$, получим соотношение для скоростей сгорания:

$\frac{v_1}{d_1} = \frac{v_2}{d_1 + d_2} = \frac{v}{d_1 + d_2 + d_3}$

Из этого равенства выразим скорости сгорания каждой свечи:

$v_1 = v \cdot \frac{d_1}{d_1 + d_2 + d_3}$

$v_2 = v \cdot \frac{d_1 + d_2}{d_1 + d_2 + d_3}$

Теперь можем найти время полного сгорания для каждой свечи, зная их начальную длину $l$.

$t_1 = \frac{l}{v_1} = \frac{l}{v \cdot \frac{d_1}{d_1 + d_2 + d_3}} = \frac{l (d_1 + d_2 + d_3)}{v \cdot d_1}$

$t_2 = \frac{l}{v_2} = \frac{l}{v \cdot \frac{d_1 + d_2}{d_1 + d_2 + d_3}} = \frac{l (d_1 + d_2 + d_3)}{v \cdot (d_1 + d_2)}$

Через какое время и какая свеча погаснет первой?

Чтобы определить, какая свеча погаснет первой, сравним время их сгорания $t_1$ и $t_2$.

$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\frac{l (d_1 + d_2 + d_3)}{v \cdot d_1}}{\frac{l (d_1 + d_2 + d_3)}{v \cdot (d_1 + d_2)}} = \frac{d_1 + d_2}{d_1} = 1 + \frac{d_2}{d_1}$

Поскольку расстояния $d_1$ и $d_2$ положительны, то $\frac{d_2}{d_1} > 0$, и, следовательно, $\frac{t_1}{t_2} > 1$, что означает $t_1 > t_2$.

Таким образом, вторая свеча сгорит быстрее.

Ответ: Первой погаснет вторая свеча через время $t_2 = \frac{l(d_1 + d_2 + d_3)}{v(d_1 + d_2)}$.

Через какое время погаснет и другая свеча?

Другая, то есть первая свеча, погаснет через время $t_1$.

Ответ: Другая свеча (первая) погаснет через время $t_1 = \frac{l(d_1 + d_2 + d_3)}{v \cdot d_1}$.