Номер 1.6, страница 9 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 1. Прямолинейное равномерное движение. Упражнения - номер 1.6, страница 9.

Условие.

1.6. Пассажир поезда заметил, что две встречные электрички промчались мимо него с интервалом $t_1 = 6$ мин. С каким интервалом времени $t_2$ проехали эти электрички мимо станции, если поезд, на котором находится пассажир, ехал со скоростью $v_1 = 100$ км/ч, а скорость каждой из электричек $v_2 = 60$ км/ч?

☑ 16 мин.

Решение. Задачу удобнее решать в системе отсчета, связанной с поездом. В этой системе отсчета скорость встречных электричек $v_\text{отн} = v_1 + v_2$. Так как электрички проходят мимо пассажира с интервалом времени $t_1$, расстояние между ними $s = v_\text{отн} t_1 = (v_1 + v_2)t_1$. В системе же отсчета, связанной со станцией, $s = v_2t_2$. Приравнивая эти выражения для $\text{s}$, получаем $t_2 = (v_1 + v_2)t_1/v_2$. Подставляя числовые данные, находим $t_2 = 16$ мин.

Решение.

Дано:

$t_1 = 6 \text{ мин} = 360 \text{ с}$

$v_1 = 100 \text{ км/ч} = 100 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 27.78 \text{ м/с}$

$v_2 = 60 \text{ км/ч} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 16.67 \text{ м/с}$

Найти:

$t_2$

Решение:

Для решения задачи рассмотрим две системы отсчета: одну, связанную с пассажиром, и другую, связанную с неподвижной станцией.

Пусть $S$ — это постоянное расстояние между двумя встречными электричками.

1. В системе отсчета, связанной с пассажиром, его поезд неподвижен. Встречные электрички движутся навстречу со скоростью, равной сумме скоростей поезда и электрички (относительная скорость сближения):

$v_{отн} = v_1 + v_2$

Интервал времени $t_1$, с которым электрички проносятся мимо пассажира, — это время, за которое вторая электричка проходит расстояние $S$ (разделяющее ее с первой) со скоростью $v_{отн}$. Следовательно, расстояние между электричками можно выразить как:

$S = v_{отн} \cdot t_1 = (v_1 + v_2) \cdot t_1$

2. В системе отсчета, связанной со станцией, электрички движутся мимо неподвижной станции со скоростью $v_2$. Интервал времени $t_2$, с которым они проезжают мимо станции, — это время, за которое вторая электричка преодолевает расстояние $S$ со скоростью $v_2$.

$S = v_2 \cdot t_2$

Поскольку расстояние $S$ между электричками является одной и той же физической величиной в обеих системах отсчета (в рамках классической механики), мы можем приравнять два полученных выражения для $S$:

$(v_1 + v_2) \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$

Из этого уравнения выразим искомый интервал времени $t_2$:

$t_2 = \frac{(v_1 + v_2) \cdot t_1}{v_2}$

Подставим числовые значения. В данной формуле можно использовать исходные единицы измерения (км/ч и минуты), так как единицы скорости (км/ч) в числителе и знаменателе сократятся, и результат для времени автоматически получится в минутах.

$t_2 = \frac{(100 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч}) \cdot 6 \text{ мин}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{160 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ мин}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{160 \cdot 6}{60} \text{ мин} = \frac{160}{10} \text{ мин} = 16 \text{ мин}$

Ответ: интервал времени, с которым электрички проехали мимо станции, равен 16 мин.