Номер 1, страница 11 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 1. Прямолинейное равномерное движение. Кинематика. Механика - номер 1, страница 11.

Условие.

O. На лодке переплывают реку, отправляясь из пункта A (см. рисунок). Скорость лодки в стоячей воде $v = 5$ м/с, скорость течения реки $u = 3$ м/с, ширина реки $s = 200$ м.

а) В какой точке лодка пристанет к противоположному берегу, если держать курс перпендикулярно берегам?

б) Какой курс следует держать, чтобы попасть в точку B?

Для обоих случаев найдите время переправы.

Решение.

а) Скорость лодки $\vec{v} + \vec{u}$ относительно берега будет направлена под углом к отрезку AB (см. рис. а).

За время переправы лодку снесет вниз по течению на расстояние $\text{l}$, которое можно найти, пользуясь подобием треугольника скоростей и треугольника ABC: $l/s = u/v$, откуда $l = su/v = 120$ (м). Течение реки в этом случае вообще не влияет на время переправы: $t_1 = s/v = 40$ (с).

б) Следует держать курс под углом, синус которого равен $u/v$ (см. рис. б).

Время переправы в этом случае $t_2 = s/\sqrt{v^2 - u^2} = 50$ (с) (см. решение задачи 1.4). Заметим, что переправа при этом занимает больше времени, хотя и происходит по кратчайшему пути.

Решение.

Дано:

Скорость лодки в стоячей воде $v = 5$ м/с.

Скорость течения реки $u = 3$ м/с.

Ширина реки $s = 200$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Расстояние сноса $l$ и время переправы $t_1$.

б) Угол курса $\alpha$ относительно перпендикуляра к берегу и время переправы $t_2$.

Решение:

Скорость лодки относительно берега является векторной суммой скорости лодки относительно воды и скорости течения: $\vec{v}_{абс} = \vec{v} + \vec{u}$.

а) В какой точке лодка пристанет к противоположному берегу, если держать курс перпендикулярно берегам?

Если лодка держит курс перпендикулярно берегам, то ее скорость относительно воды $\vec{v}$ направлена поперек реки. Движение лодки можно разложить на две независимые составляющие: движение поперек реки со скоростью $v$ и движение вдоль реки (снос течением) со скоростью $u$.

Время, за которое лодка пересечет реку, определяется только скоростью, перпендикулярной берегу, и шириной реки:

$t_1 = \frac{s}{v}$

Подставим числовые значения:

$t_1 = \frac{200 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 40 \text{ с}$

За это время течение снесет лодку на расстояние $l$ вниз по реке. Это расстояние можно найти, умножив скорость течения на время переправы:

$l = u \cdot t_1$

$l = 3 \text{ м/с} \cdot 40 \text{ с} = 120 \text{ м}$

Таким образом, лодка пристанет к берегу в точке, смещенной на 120 м вниз по течению от точки B.

Ответ: Лодка пристанет к противоположному берегу на расстоянии $l = 120$ м вниз по течению от точки B. Время переправы составит $t_1 = 40$ с.

б) Какой курс следует держать, чтобы попасть в точку В?

Чтобы попасть в точку B, расположенную строго напротив точки A, результирующая скорость лодки относительно берега $\vec{v}_{абс}$ должна быть направлена перпендикулярно берегам. Это означает, что лодка должна двигаться под некоторым углом $\alpha$ против течения так, чтобы составляющая ее скорости вдоль берега компенсировала скорость течения.

Из векторного сложения скоростей ($\vec{v}_{абс} = \vec{v} + \vec{u}$) получаем прямоугольный треугольник, где скорость лодки относительно воды $v$ является гипотенузой, а скорость течения $u$ и результирующая скорость $v_{абс}$ – катетами.

Для компенсации сноса, проекция скорости лодки на ось, параллельную берегу, должна быть равна по модулю и противоположна по направлению скорости течения:

$v \cdot \sin\alpha = u$

Отсюда находим синус угла $\alpha$, который лодка должна составлять с линией АВ, двигаясь против течения:

$\sin\alpha = \frac{u}{v} = \frac{3 \text{ м/с}}{5 \text{ м/с}} = 0.6$

Сам угол $\alpha = \arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ$.

Результирующая скорость лодки, направленная поперек реки, находится по теореме Пифагора:

$v_{абс} = \sqrt{v^2 - u^2} = \sqrt{(5 \text{ м/с})^2 - (3 \text{ м/с})^2} = \sqrt{25 - 9} \text{ м/с} = \sqrt{16} \text{ м/с} = 4 \text{ м/с}$

Время переправы $t_2$ в этом случае будет:

$t_2 = \frac{s}{v_{абс}}$

$t_2 = \frac{200 \text{ м}}{4 \text{ м/с}} = 50 \text{ с}$

Ответ: Чтобы попасть в точку B, следует держать курс против течения под углом $\alpha$ к перпендикуляру к берегу, синус которого равен $\sin\alpha = 0.6$. Время переправы составит $t_2 = 50$ с.