Номер 2.2, страница 16 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Кинематика. Механика - номер 2.2, страница 16.

Условие.

2.2. От толчка шарик вкатывается на наклонную плоскость. На расстоянии $l = 30$ см от начала движения шарик побывал дважды: через $t_1 = 1$ с и $t_2 = 2$ с после толчка. Считая движение равноускоренным, найдите начальную скорость $v_0$ и ускорение $\text{a}$.

☑ $45 \frac{см} {с}$ $30 \frac{см} {с^2}$.

Решение. Зависимость координаты шарика от времени выражается формулой $x = v_{0x}t - \frac{a_x t^2}{2}$. Отсюда получаем квадратное уравнение $t^2 - \frac{2v_{0x}}{a_x}t + \frac{2x}{a_x} = 0$. Так как $t_1$ и $t_2$ — корни этого уравнения при $x = l$, то согласно теореме Виета $t_1 + t_2 = \frac{2v_{0x}}{a_x}$ и $t_1 t_2 = \frac{2l}{a_x}$. Из полученной системы уравнений находим: $a_x = \frac{2l}{t_1 t_2} = 30 \text{ (см/с}^2\text{)}$, $v_{0x} = \frac{(t_1 + t_2) \cdot a_x}{2} = 45 \text{ (см/с)}$.

Решение.

Дано:

$l = 30 \text{ см}$

$t_1 = 1 \text{ с}$

$t_2 = 2 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$l = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

$v_0$ - начальная скорость

$a$ - ускорение

Решение:

Движение шарика по наклонной плоскости является равноускоренным. Зависимость координаты шарика $x$ от времени $t$ описывается уравнением:

$x(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

где $v_0$ — начальная скорость, а $a$ — ускорение. Поскольку шарик вкатывается на наклонную плоскость, его скорость уменьшается, следовательно, вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости, и проекция ускорения на ось движения будет отрицательной.

По условию задачи, в моменты времени $t_1$ и $t_2$ шарик находится на одном и том же расстоянии $l$ от начала движения. Это означает, что $t_1$ и $t_2$ являются корнями уравнения $l = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ относительно времени $t$.

Перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $t$ ($At^2 + Bt + C = 0$):

$\frac{a}{2}t^2 + v_0 t - l = 0$

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения сумма корней равна $-B/A$, а произведение корней равно $C/A$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A = \frac{a}{2}$, $B = v_0$, $C = -l$.

Применим теорему Виета к нашему уравнению:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = -\frac{v_0}{a/2} = -\frac{2v_0}{a}$

Произведение корней: $t_1 t_2 = \frac{-l}{a/2} = -\frac{2l}{a}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $v_0$ и $a$:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = -2v_0/a \\ t_1 t_2 = -2l/a \end{cases}$

Из второго уравнения выразим ускорение $a$:

$a = -\frac{2l}{t_1 t_2}$

Из первого уравнения выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = -\frac{a(t_1 + t_2)}{2}$

Подставим известные значения (для удобства будем производить вычисления в исходных единицах, см и с):

$l = 30 \text{ см}$, $t_1 = 1 \text{ с}$, $t_2 = 2 \text{ с}$.

Найдем ускорение:

$a = -\frac{2 \cdot 30 \text{ см}}{1 \text{ с} \cdot 2 \text{ с}} = -\frac{60 \text{ см}}{2 \text{ с}^2} = -30 \text{ см/с}^2$

Теперь найдем начальную скорость:

$v_0 = -\frac{(-30 \text{ см/с}^2) \cdot (1 \text{ с} + 2 \text{ с})}{2} = -\frac{(-30 \text{ см/с}^2) \cdot 3 \text{ с}}{2} = \frac{90 \text{ см/с}}{2} = 45 \text{ см/с}$

Таким образом, начальная скорость шарика равна 45 см/с, а его ускорение равно -30 см/с². Отрицательный знак ускорения подтверждает, что движение является равнозамедленным.

Ответ: начальная скорость $v_0 = 45 \text{ см/с}$; ускорение $a = -30 \text{ см/с}^2$ (модуль ускорения равен $30 \text{ см/с}^2$).