Номер 7, страница 21 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Олимпиадные задачи - номер 7, страница 21.

Условие.

O-7. При равноускоренном движении тело проходит в первые два равных последовательных промежутка времени, по $t = 4$ с каждый, пути $s_1 = 24$ м и $s_2 = 64$ м. Определите начальную скорость и ускорение движущегося тела.

☑ 1 м/с; 2,5 м/с$^{2}$.

Решение. Для каждого из участков пути можно соответственно записать:

$s_1 = v_0t_1 + \frac{at_1^2}{2}$ и $s_1 + s_2 = v_0t_2 + \frac{at_2^2}{2}$.

Отсюда получаем

$v_0 = \frac{s_1}{t_1} - \frac{at_1}{2}$ и $v_0 = \frac{s_1 + s_2}{t_2} - \frac{at_2}{2}$.

Решая совместно эти два уравнения, находим

$a = \frac{2}{t_2 - t_1} \left(\frac{s_1 + s_2}{t_2} - \frac{s_1}{t_1}\right) = 2,5 \left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right)$; $v_0 = \frac{24}{4} - \frac{2,5}{2} \cdot 4 = 1 \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)$.

Решение.

Дано:

$s_1 = 24$ м

$s_2 = 64$ м

$t = 4$ с (длительность каждого из двух последовательных промежутков времени)

Все данные приведены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$v_0$ — ?

$a$ — ?

Решение:

При равноускоренном движении путь, пройденный телом, вычисляется по формуле:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

где $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, $t$ — время движения.

Составим систему уравнений для нахождения двух неизвестных ($v_0$ и $a$).

1. Для первого промежутка времени $t_1 = 4$ с, за который тело прошло путь $s_1 = 24$ м, уравнение движения будет выглядеть так:

$s_1 = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$24 = v_0 \cdot 4 + \frac{a \cdot 4^2}{2}$

$24 = 4v_0 + \frac{16a}{2}$

$24 = 4v_0 + 8a$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$6 = v_0 + 2a$ (1)

2. Для второго уравнения рассмотрим движение тела от начального момента до конца второго промежутка времени. Общее время движения составит $t_{общ} = t + t = 4 + 4 = 8$ с. Общий пройденный путь за это время равен $s_{общ} = s_1 + s_2 = 24 + 64 = 88$ м.

Запишем уравнение движения для общего пути и общего времени:

$s_{общ} = v_0 t_{общ} + \frac{at_{общ}^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$88 = v_0 \cdot 8 + \frac{a \cdot 8^2}{2}$

$88 = 8v_0 + \frac{64a}{2}$

$88 = 8v_0 + 32a$

Разделим обе части уравнения на 8:

$11 = v_0 + 4a$ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_0 + 2a = 6 \\ v_0 + 4a = 11 \end{cases}$

Для решения системы вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(v_0 + 4a) - (v_0 + 2a) = 11 - 6$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2} = 2.5$ м/с$^2$

Зная ускорение, мы можем найти начальную скорость $v_0$, подставив значение $a$ в любое из уравнений системы, например, в уравнение (1):

$v_0 + 2 \cdot 2.5 = 6$

$v_0 + 5 = 6$

$v_0 = 1$ м/с

Ответ: начальная скорость тела $v_0 = 1$ м/с, ускорение $a = 2.5$ м/с$^2$.