Номер 11, страница 24 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Олимпиадные задачи - номер 11, страница 24.

Условие.

O1. Тело совершает прямолинейное равноускоренное движение с некоторой начальной скоростью. Каково перемещение тела за 20 с, если его скорость через 10 с после начального момента равна 5 м/с? Тело двигалось в одном направлении.

☑ 100 м.

Решение. Обозначим начальную скорость тела $v_0$, а ускорение $\text{a}$. Промежуток времени, равный 10 с, обозначим $\text{t}$. Тогда скорость тела через 10 с после начального момента $v = v_0 + at$, а путь, пройденный за 20 с, равен

$s = v_0 \cdot 2t + \frac{a(2t)^2}{2} = 2t(v_0 + at) = 2vt = 100 \text{ (м)}$

Задачу можно решить и другим способом, практически без вычислений. Заметим для этого, что при равноускоренном движении средняя скорость на промежутке от момента времени $t_1$ до момента $t_2$ равна мгновенной скорости в момент времени $\frac{t_1 + t_2}{2}$ (см. задачу 3.45 в «Сборнике задач»). Следовательно, средняя скорость тела за 20 с равна его мгновенной скорости через 10 с, равной по условию 5 м/с. Перемещение равно произведению средней скорости на промежуток времени, то есть в данном случае 100 м.

Решение.

Дано

Движение: прямолинейное, равноускоренное

Общее время движения, $T = 20 \text{ с}$

Момент времени, $t_1 = 10 \text{ с}$

Скорость в момент $t_1$, $v(t_1) = 5 \text{ м/с}$

(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Перемещение за время $T$, $s(T)$ — ?

Решение

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Использование уравнений кинематики

Уравнение скорости для равноускоренного движения имеет вид:

$v(t) = v_0 + at$

где $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение.

По условию, в момент времени $t_1 = 10 \text{ с}$ скорость тела $v(t_1) = 5 \text{ м/с}$. Подставим эти значения в уравнение:

$5 = v_0 + a \cdot 10$

Это соотношение между начальной скоростью и ускорением.

Уравнение перемещения для равноускоренного движения:

$s(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Нам нужно найти перемещение за общее время $T = 20 \text{ с}$:

$s(T) = v_0 \cdot 20 + \frac{a \cdot (20)^2}{2} = 20v_0 + \frac{400a}{2} = 20v_0 + 200a$

Вынесем общий множитель 20 за скобки:

$s(T) = 20(v_0 + 10a)$

Как мы нашли ранее, выражение в скобках $(v_0 + 10a)$ равно 5. Подставим это значение в формулу для перемещения:

$s(T) = 20 \cdot 5 = 100 \text{ м}$

Ответ: перемещение тела за 20 с равно 100 м.

Способ 2. Использование средней скорости

Для прямолинейного равноускоренного движения средняя путевая скорость $\langle v \rangle$ на некотором промежутке времени равна мгновенной скорости в середине этого промежутка.

Рассматривается промежуток времени от $0$ до $T = 20 \text{ с}$. Середина этого промежутка — момент времени $t_{ср} = \frac{0 + 20}{2} = 10 \text{ с}$.

По условию задачи, мгновенная скорость тела в момент времени $10 \text{ с}$ равна $5 \text{ м/с}$. Следовательно, средняя скорость движения тела за все 20 секунд также равна $5 \text{ м/с}$.

$\langle v \rangle = v(10 \text{ с}) = 5 \text{ м/с}$

Перемещение тела определяется как произведение средней скорости на время движения:

$s = \langle v \rangle \cdot T$

Подставим известные значения:

$s = 5 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 100 \text{ м}$

Ответ: перемещение тела за 20 с равно 100 м.