Номер 2.6, страница 20 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Кинематика. Механика - номер 2.6, страница 20.

Условие.

2.6. Докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости выполняется «закон нечетных чисел»: пути, проходимые телом за последовательные равные интервалы времени, относятся как последовательные нечетные числа: $l_1:l_2: \dots :l_n = 1:3: \dots :(2n - 1)$. (Эта задача была впервые поставлена и решена Галилеем.)

Решение. Решим эту задачу сначала аналитически (с помощью формул), а затем приведем графическое решение, практически не требующее вычислений. Обозначим каждый из равных интервалов времени $\tau$. Тогда путь $l_n$, пройденный телом за $\text{n}$-й интервал, равен разности путей, пройденных за время $n\tau$ и за время $(n)\tau$:

$l_n = \frac{a(n\tau)^2}{2} - \frac{a((n)\tau)^2}{2} = \frac{a\tau^2}{2}(n^2 - (n)^2) = \frac{a\tau^2}{2}(2n)$.

Поскольку множитель $\frac{a\tau^2}{2}$ — постоянная величина, получаем $l_1:l_2: \dots :l_n = 1:3: \dots :(2n - 1)$, что и требовалось доказать.

Теперь решим эту же задачу с помощью графика $v(t)$. Перемещение тела за интервал времени $\tau$ численно равно площади фигуры, ограниченной соответствующим участком графика и осями координат (см. рисунок).

Эти фигуры можно разбить на треугольники с площадью $l_1$, причем каждая следующая фигура содержит на два треугольника больше предыдущей.

Поэтому $l_1:l_2: \dots :l_n = 1:3: \dots :(2n - 1)$, что и требовалось доказать.

Решение.

Доказательство того, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости выполняется «закон нечетных чисел», можно провести двумя способами: аналитически (с помощью формул) и графически.

Дано:

Движение — прямолинейное равноускоренное.

Начальная скорость $v_0 = 0$.

Ускорение $a = \text{const}$.

Последовательные равные интервалы времени $\tau$.

Найти:

Доказать, что $l_1:l_2: \dots :l_n = 1:3: \dots :(2n-1)$, где $l_n$ — путь, пройденный за n-й интервал времени $\tau$.

Решение:

Аналитическое решение (с помощью формул)

Путь, пройденный телом при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости за время $t$, определяется формулой $S(t) = \frac{at^2}{2}$.

Путь $l_n$, пройденный телом за n-й по счету интервал времени $\tau$, равен разности путей, пройденных за общее время $n\tau$ и за время $(n-1)\tau$:

$l_n = S(n\tau) - S((n-1)\tau) = \frac{a(n\tau)^2}{2} - \frac{a((n-1)\tau)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{a\tau^2}{2}$ за скобки:

$l_n = \frac{a\tau^2}{2}(n^2 - (n-1)^2)$

Упростим выражение в скобках, раскрыв квадрат разности:

$n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = n^2 - n^2 + 2n - 1 = 2n - 1$

Таким образом, формула для пути, пройденного за n-й интервал, имеет вид:

$l_n = \frac{a\tau^2}{2}(2n - 1)$

Поскольку множитель $\frac{a\tau^2}{2}$ является постоянной величиной (он равен пути $l_1$, пройденному за первый интервал времени), то пути, пройденные за последовательные равные интервалы времени, пропорциональны нечетным числам $(2n - 1)$.

Следовательно, отношение этих путей будет:

$l_1 : l_2 : \dots : l_n = (2\cdot1 - 1) : (2\cdot2 - 1) : \dots : (2n - 1) = 1 : 3 : \dots : (2n - 1)$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Аналитически доказано, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пути, проходимые телом за последовательные равные интервалы времени, относятся как последовательные нечетные числа: $1:3:5:\dots:(2n-1)$.

Графическое решение (с помощью графика v(t))

При прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости зависимость скорости от времени является линейной: $v(t) = at$. Графиком этой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат.

Путь, пройденный телом за интервал времени, численно равен площади фигуры под графиком скорости $v(t)$ на этом интервале.

Разобьем ось времени на равные интервалы $\tau, 2\tau, 3\tau, \dots$. Путь за первый интервал (от 0 до $\tau$), $l_1$, равен площади треугольника с основанием $\tau$ и высотой $v(\tau) = a\tau$. Обозначим эту площадь как $S_1$.

$l_1 = S_1 = \frac{1}{2} \cdot \tau \cdot (a\tau) = \frac{a\tau^2}{2}$

Рассмотрим графическое представление, где вся площадь под графиком разбита на одинаковые треугольники площадью $S_1$.

Площадь фигуры для первого интервала (от 0 до $\tau$) равна $l_1 = S_1$.

Площадь фигуры (трапеции) для второго интервала (от $\tau$ до $2\tau$) состоит из трех таких треугольников, то есть $l_2 = 3S_1$.

Площадь фигуры для третьего интервала (от $2\tau$ до $3\tau$) состоит из пяти таких треугольников, то есть $l_3 = 5S_1$.

В общем случае, площадь фигуры для n-го интервала времени (от $(n-1)\tau$ до $n\tau$) будет состоять из $(2n-1)$ таких треугольников, то есть $l_n = (2n-1)S_1$.

Таким образом, отношение путей, пройденных за последовательные интервалы времени, равно:

$l_1 : l_2 : l_3 : \dots : l_n = S_1 : 3S_1 : 5S_1 : \dots : (2n-1)S_1 = 1 : 3 : 5 : \dots : (2n-1)$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Графически доказано, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пути, проходимые телом за последовательные равные интервалы времени, относятся как последовательные нечетные числа: $1:3:5:\dots:(2n-1)$.