Номер 2.5, страница 18 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Кинематика. Механика - номер 2.5, страница 18.

Условие.

2.5. На рисунке приведен график зависимости $v_x(t)$ для тела, движущегося вдоль оси x. Постройте графики зависимости от времени ускорения $a_x$, перемещения $s_x$ и пройденного пути $\text{l}$.

☑ См. рис. а, б, в.

Решение. Первые 3 с движение происходило с постоянным ускорением $a_{1x} = -2 \text{ м/с}^2$, следующие 2 с — без ускорения и последние 2с — с ускорением $a_{2x} = 1 \text{ м/с}^2$. После этого тело остается неподвижным. График $a_x(t)$ показан на рис. а. Перемещение тела в течение первых трех секунд определяется по формуле $s_x = v_{0x}t + a_{1x}t^2/2 = 4t - t^2$ (здесь и далее числовые значения, входящие в формулы, приводятся без указания единиц измерения; все величины измеряются в единицах СИ). График $s_x(t)$ в этом интервале (см. рис. б) представляет собой параболу с вершиной при $t = 2 \text{ с}$ (в этот момент скорость тела равна нулю). Поскольку $s_x = 3 \text{ м}$ при $t = 3 \text{ с}$, в течение следующих двух секунд $s_x = 3 - 2(t - 3)$. Величина $t - 3$ представляет собой время равномерного движения. Отсюда $s_x = 3 - 2t$; при $t = 5 \text{ с}$ (к моменту, когда равномерное движение заканчивается) находим $s_x = \text{ м}$.

Аналогично для третьего этапа движения $s_x = - 2(t - 5) + (t - 5)^2/2$.

Отметим, что при $t = 3 \text{ с}$ и $t = 5 \text{ с}$ график $s_x(t)$ не испытывает изломов: различные его участки плавно переходят один в другой. Это обусловлено непрерывностью зависимости $v_x(t)$: мгновенных изменений скорости, т. е. изменений угла наклона касательной к графику $s_x(t)$, не происходит. Для получения графика $l(t)$ достаточно заметить, что путь увеличивается при любом изменении $s_x$. Поэтому убывающие участки графика $s_x(t)$ необходимо симметрично отразить вверх, сохраняя непрерывность графика (см. рис. в).

Решение.

Дано:

График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$.

Найти:

Построить графики зависимости:

1. Проекции ускорения $a_x$ от времени $t$.

2. Перемещения $s_x$ от времени $t$.

3. Пройденного пути $l$ от времени $t$.

Решение:

Проанализируем движение тела, разбив его на временные интервалы, на которых характер движения постоянен.

Проекция ускорения $a_x$ определяется как тангенс угла наклона графика $v_x(t)$ к оси времени: $a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$.

Перемещение $s_x$ за некоторый интервал времени равно площади фигуры под графиком $v_x(t)$ на этом интервале. При $v_x < 0$ площадь считается отрицательной. Будем считать, что в начальный момент времени $t=0$ тело находилось в начале координат, т.е. $s_x(0) = 0$.

Пройденный путь $l$ — это сумма длин всех участков траектории. Он всегда неотрицателен и не убывает со временем. Путь равен площади под графиком модуля скорости $|v_x(t)|$.

1. График зависимости ускорения $a_x$ от времени $t$

Интервал 1: $t \in [0, 2]$ с.

Движение равноускоренное. Скорость линейно возрастает от $v_x(0)=0$ м/с до $v_x(2)=4$ м/с.

Ускорение постоянно и равно:

$a_{x1} = \frac{v_x(2) - v_x(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = 2$ м/с².

Интервал 2: $t \in [2, 3]$ с.

Движение равнозамедленное. Скорость линейно убывает от $v_x(2)=4$ м/с до $v_x(3)=0$ м/с.

Ускорение постоянно и равно:

$a_{x2} = \frac{v_x(3) - v_x(2)}{3 - 2} = \frac{0 - 4}{1} = -4$ м/с².

Интервал 3: $t \in [3, 5]$ с.

Тело начинает двигаться в обратном направлении. Движение равноускоренное с отрицательным ускорением. Скорость линейно изменяется от $v_x(3)=0$ м/с до $v_x(5)=-2$ м/с.

Ускорение постоянно и равно:

$a_{x3} = \frac{v_x(5) - v_x(3)}{5 - 3} = \frac{-2 - 0}{2} = -1$ м/с².

Интервал 4: $t \in [5, 7]$ с.

Движение равномерное. Скорость постоянна и равна $v_x = -2$ м/с.

Ускорение равно нулю:

$a_{x4} = 0$ м/с².

Интервал 5: $t \in [7, 9]$ с.

Движение равнозамедленное (скорость отрицательна, ускорение положительно). Скорость линейно изменяется от $v_x(7)=-2$ м/с до $v_x(9)=0$ м/с.

Ускорение постоянно и равно:

$a_{x5} = \frac{v_x(9) - v_x(7)}{9 - 7} = \frac{0 - (-2)}{2} = 1$ м/с².

График $a_x(t)$ представляет собой ступенчатую функцию. На каждом интервале ускорение постоянно.

Ответ: График зависимости ускорения $a_x(t)$ представляет собой ступенчатую линию: $a_x = 2$ м/с² на интервале $[0, 2)$ с; $a_x = -4$ м/с² на интервале $[2, 3)$ с; $a_x = -1$ м/с² на интервале $[3, 5)$ с; $a_x = 0$ м/с² на интервале $[5, 7)$ с; $a_x = 1$ м/с² на интервале $[7, 9]$ с.

2. График зависимости перемещения $s_x$ от времени $t$

Для построения графика $s_x(t)$ найдем перемещение в конце каждого интервала. При равноускоренном движении зависимость $s_x(t)$ является параболической ($s_x(t) = s_{x0} + v_{x0}t + \frac{a_xt^2}{2}$), при равномерном — линейной.

Интервал 1: $t \in [0, 2]$ с.

Начальные условия: $s_x(0) = 0$, $v_x(0)=0$. Ускорение $a_{x1} = 2$ м/с².

Перемещение в конце интервала равно площади треугольника под графиком $v_x(t)$:

$s_x(2) = s_x(0) + \Delta s_{x(0-2)} = 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ м.

Зависимость $s_x(t) = \frac{a_{x1}t^2}{2} = t^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.

Интервал 2: $t \in [2, 3]$ с.

Начальные условия: $s_x(2) = 4$ м, $v_x(2)=4$ м/с. Ускорение $a_{x2} = -4$ м/с².

Перемещение за этот интервал времени (площадь треугольника):

$\Delta s_{x(2-3)} = \frac{1}{2} \cdot (3-2) \cdot 4 = 2$ м.

Перемещение в конце интервала:

$s_x(3) = s_x(2) + \Delta s_{x(2-3)} = 4 + 2 = 6$ м.

Зависимость $s_x(t)$ — ветвь параболы, направленная вниз. В точке $t=3$ с скорость $v_x=0$, что соответствует вершине параболы (точка максимального смещения).

Интервал 3: $t \in [3, 5]$ с.

Начальные условия: $s_x(3) = 6$ м, $v_x(3)=0$ м/с. Ускорение $a_{x3} = -1$ м/с².

Перемещение за этот интервал (площадь треугольника под осью t):

$\Delta s_{x(3-5)} = \frac{1}{2} \cdot (5-3) \cdot (-2) = -2$ м.

Перемещение в конце интервала:

$s_x(5) = s_x(3) + \Delta s_{x(3-5)} = 6 - 2 = 4$ м.

Зависимость $s_x(t)$ — ветвь параболы, направленная вниз, исходящая из вершины в $t=3$ с.

Интервал 4: $t \in [5, 7]$ с.

Начальные условия: $s_x(5) = 4$ м, $v_x = -2$ м/с (равномерное движение).

Перемещение за этот интервал (площадь прямоугольника под осью t):

$\Delta s_{x(5-7)} = -2 \cdot (7-5) = -4$ м.

Перемещение в конце интервала:

$s_x(7) = s_x(5) + \Delta s_{x(5-7)} = 4 - 4 = 0$ м.

Зависимость $s_x(t)$ — прямая линия с отрицательным наклоном.

Интервал 5: $t \in [7, 9]$ с.

Начальные условия: $s_x(7) = 0$ м, $v_x(7)=-2$ м/с. Ускорение $a_{x5} = 1$ м/с².

Перемещение за этот интервал (площадь треугольника под осью t):

$\Delta s_{x(7-9)} = \frac{1}{2} \cdot (9-7) \cdot (-2) = -2$ м.

Перемещение в конце интервала:

$s_x(9) = s_x(7) + \Delta s_{x(7-9)} = 0 - 2 = -2$ м.

Зависимость $s_x(t)$ — ветвь параболы, направленная вверх. В точке $t=9$ с скорость $v_x=0$, что соответствует вершине параболы.

Ответ: График зависимости перемещения $s_x(t)$ состоит из соединенных между собой участков парабол и прямой линии. Ключевые точки графика: $(0, 0), (2, 4), (3, 6), (5, 4), (7, 0), (9, -2)$.

3. График зависимости пройденного пути $l$ от времени $t$

Пройденный путь $l$ равен накопленной длине траектории. Пока тело движется в положительном направлении ($v_x > 0$), пройденный путь равен перемещению. Когда тело начинает двигаться в обратном направлении ($v_x < 0$), пройденный путь продолжает увеличиваться, в то время как перемещение уменьшается.

$l(t) = \int_0^t |v_x(\tau)| d\tau$

Интервал $t \in [0, 3]$ с.

На этом интервале скорость $v_x \ge 0$. Поэтому пройденный путь совпадает с перемещением: $l(t) = s_x(t)$.

Ключевые точки:

$l(0) = s_x(0) = 0$ м.

$l(2) = s_x(2) = 4$ м.

$l(3) = s_x(3) = 6$ м. В этой точке тело меняет направление движения.

Интервал $t \in [3, 9]$ с.

На этом интервале скорость $v_x \le 0$. Путь, пройденный после момента $t=3$ с, равен модулю изменения перемещения. Общий пройденный путь $l(t)$ равен пути на момент $t=3$ с плюс путь, пройденный с $3$ с до $t$.

$l(t) = l(3) + |s_x(t) - s_x(3)| = 6 + |s_x(t) - 6|$.

Рассчитаем значения в ключевых точках:

При $t=5$ с: $s_x(5) = 4$ м.

Путь, пройденный за интервал $[3, 5]$ с: $|\Delta s_{x(3-5)}| = |-2| = 2$ м.

$l(5) = l(3) + 2 = 6 + 2 = 8$ м.

При $t=7$ с: $s_x(7) = 0$ м.

Путь, пройденный за интервал $[5, 7]$ с: $|\Delta s_{x(5-7)}| = |-4| = 4$ м.

$l(7) = l(5) + 4 = 8 + 4 = 12$ м.

При $t=9$ с: $s_x(9) = -2$ м.

Путь, пройденный за интервал $[7, 9]$ с: $|\Delta s_{x(7-9)}| = |-2| = 2$ м.

$l(9) = l(7) + 2 = 12 + 2 = 14$ м.

График $l(t)$ является неубывающей функцией. На участке $t > 3$ с он получается из графика $s_x(t)$ путем отражения части графика после $t=3$ с относительно горизонтальной линии $y=6$ и смещения вверх так, чтобы он плавно продолжал кривую в точке $(3, 6)$.

Ответ: График зависимости пройденного пути $l(t)$ состоит из участков кривых и прямых, причем наклон графика всегда неотрицателен. Ключевые точки графика: $(0, 0), (2, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 12), (9, 14)$.