Номер 2.3, страница 17 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Упражнения - номер 2.3, страница 17.

Условие.

2.3. Поезд прошел расстояние $s = 17 \text{ км}$ между двумя станциями. При этом на разгон в начале движения и торможение перед остановкой ушло в общей сложности $t_1 = 4 \text{ мин}$, а остальное время поезд двигался с постоянной скоростью. Чему равна эта скорость $\text{u}$, если средняя скорость поезда оказалась равной $v_{\text{ср}} = 60 \text{ км/ч}$?

☑ 68 км/ч.

Решение. График $v(t)$ для движения поезда имеет вид, показанный на рисунке. Пройденный путь численно равен площади трапеции, т. е. $s = \frac{t_0 + (t_0 - t_1)}{2} \cdot u$. Учитывая, что $t_0 = s/v_{\text{ср}}$, получаем $u = \frac{2sv_{\text{ср}}}{2s - v_{\text{ср}}t_1} = 68 \text{ (км/ч)}$.

Решение.

Дано:

s = 17 км

t₁ = 4 мин

v_ср = 60 км/ч

Переведем все величины в единую систему измерений (километры и часы):

t₁ = 4 мин = $ \frac{4}{60} $ ч = $ \frac{1}{15} $ ч

Найти:

u - ?

Решение:

Движение поезда можно представить в виде графика зависимости скорости от времени v(t), как показано на рисунке в условии. Пройденный путь $s$ численно равен площади фигуры под графиком. В данном случае фигура является трапецией.

Основаниями трапеции являются общее время движения $t_0$ и время движения с постоянной скоростью $t_0 - t_1$. Высотой трапеции является постоянная скорость $u$.

Площадь трапеции (пройденный путь) вычисляется по формуле:

$s = \frac{(t_0) + (t_0 - t_1)}{2} \cdot u = \frac{2t_0 - t_1}{2} \cdot u$

Средняя скорость $v_{ср}$ определяется как отношение всего пути $s$ ко всему времени движения $t_0$:

$v_{ср} = \frac{s}{t_0}$

Из этой формулы мы можем выразить общее время движения $t_0$:

$t_0 = \frac{s}{v_{ср}}$

Подставим выражение для $t_0$ в формулу для пути:

$s = \frac{2\frac{s}{v_{ср}} - t_1}{2} \cdot u$

Теперь выразим из этого уравнения искомую скорость $u$:

$2s = ( \frac{2s}{v_{ср}} - t_1 ) \cdot u$

$u = \frac{2s}{\frac{2s}{v_{ср}} - t_1}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$u = \frac{2 \cdot 17}{\frac{2 \cdot 17}{60} - \frac{1}{15}} = \frac{34}{\frac{34}{60} - \frac{4}{60}} = \frac{34}{\frac{30}{60}} = \frac{34}{\frac{1}{2}} = 34 \cdot 2 = 68$ (км/ч)

Ответ: u = 68 км/ч.