Номер 2.4, страница 17 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 2. Прямолинейное равноускоренное движение. Упражнения - номер 2.4, страница 17.

Условие.

2.4. По прямой из точки A начали двигаться одновременно в одном направлении два тела: первое равноускоренно с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с², второе — равномерно. В каких пределах должна изменяться скорость второго тела, чтобы оно сначала обогнало первое тело, но позже первое тело догнало второе на расстоянии, не большем 10 м от точки A?

☑ $3 \text{ м/с} < v_2 < 5 \text{ м/с}$

Решение. Уравнение движения для первого тела $x_1 = 3t + t^2$, для второго — $x_2 = v_2t$. Моменту встречи тел соответствует $x_1 = x_2$, или $3t + t^2 = v_2t$. Отсюда получаем: $t^2 + t(3 - v_2) = 0$.

Решениями этого уравнения являются $t_1 = 0$ (это соответствует началу движения) и $t_2 = v_2 - 3$.

Отсюда находим первый предел для скорости: $v > 3$.

Если $x_2 = 10$, то $t = \frac{10}{v_2}$ и $\frac{30}{v_2} + \frac{100}{v_2^2} = 10$, или $v_2^2 - 3v_2 - 10 = 0$.

Решая это уравнение, получаем:

$v_2 = \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} + 10} = 5$.

Таким образом, скорость второго тела должна изменяться в пределах $3 \text{ м/с} < v_2 \le 5 \text{ м/с}$.

Решение.

Дано

Тело 1 (равноускоренное движение):
Начальная скорость $v_{01} = 3 \text{ м/с}$
Ускорение $a_1 = 2 \text{ м/с}^2$
Тело 2 (равномерное движение):
Скорость $v_2 = \text{const}$
Координата второй встречи $x_{встр} \le 10 \text{ м}$

Найти:

Диапазон скоростей второго тела $v_2$.

Решение

Запишем уравнения движения для обоих тел. Примем точку А за начало координат ($x=0$).

Уравнение движения для первого тела, движущегося равноускоренно:

$x_1(t) = v_{01}t + \frac{a_1t^2}{2}$

Подставив данные из условия, получим:

$x_1(t) = 3t + \frac{2t^2}{2} = 3t + t^2$

Уравнение движения для второго тела, движущегося равномерно:

$x_2(t) = v_2t$

Встреча тел происходит, когда их координаты совпадают, то есть $x_1(t) = x_2(t)$.

$3t + t^2 = v_2t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно времени $t$:

$t^2 + (3 - v_2)t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t + 3 - v_2) = 0$

Это уравнение имеет два решения для времени встречи:

1. $t_1 = 0$. Этот корень соответствует начальному моменту, когда оба тела находились в точке А.

2. $t_2 = v_2 - 3$. Этот корень соответствует времени второй встречи.

По условию задачи, второе тело должно сначала обогнать первое, а затем первое должно догнать второе. Это означает, что вторая встреча должна произойти в положительный момент времени, то есть $t_2 > 0$.

$v_2 - 3 > 0$

$v_2 > 3 \text{ м/с}$

Это первое ограничение на скорость второго тела. Оно физически означает, что для того, чтобы обогнать первое тело на старте, второе тело должно иметь начальную скорость больше, чем у первого.

Далее, по условию, вторая встреча должна произойти на расстоянии не более 10 м от точки А. Найдем координату этой встречи, подставив время $t_2$ в уравнение движения второго тела:

$x_{встр} = x_2(t_2) = v_2 \cdot t_2 = v_2(v_2 - 3)$

Наложим на эту координату ограничение из условия задачи: $x_{встр} \le 10$.

$v_2(v_2 - 3) \le 10$

$v_2^2 - 3v_2 - 10 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $v_2^2 - 3v_2 - 10 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$v_{2,1} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

$v_{2,2} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

Графиком функции $y = v_2^2 - 3v_2 - 10$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0$) между ее корнями. Таким образом, решение неравенства:

$-2 \le v_2 \le 5$

Теперь необходимо объединить оба полученных условия для скорости $v_2$:

1. $v_2 > 3 \text{ м/с}$

2. $-2 \text{ м/с} \le v_2 \le 5 \text{ м/с}$

Общим решением для этих двух условий является интервал:

$3 \text{ м/с} < v_2 \le 5 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость второго тела должна находиться в пределах $3 \text{ м/с} < v_2 \le 5 \text{ м/с}$.