Номер 3.6, страница 27 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Кинематика. Механика - номер 3.6, страница 27.

Условие.

3.6. Из точки B свободно падает тело. Одновременно из точки A под углом $\alpha$ к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе (см. рисунок). Докажите, что угол $\alpha$ не зависит от начальной скорости $v_0$ тела, брошенного из точки A, и определите этот угол, если $\frac{H}{L} = \sqrt{3}$.

☑ 60°.

Решение. Систему отсчета свяжем с телом, падающим из точки B. В этом случае скорость тела, брошенного из точки A, постоянна. Очевидно, тела встретятся, если вектор скорости тела направлен в точку B, т. е. $\text{tg} \alpha = \frac{H}{L}$. Если $H = L \cdot \sqrt{3}$, то $\text{tg} \alpha = \sqrt{3}$, а $\alpha = 60^{\circ}$.

Решение.

Дано:

Отношение высоты к расстоянию: $\frac{H}{L} = \sqrt{3}$

Найти:

1. Доказать, что угол $\alpha$ не зависит от начальной скорости $v_0$.

2. Определить угол $\alpha$.

Решение:

Рассмотрим движение двух тел в системе отсчета, связанной с Землей. Введем систему координат с началом в точке А, ось OX направим горизонтально вправо, а ось OY — вертикально вверх. Тела начинают движение одновременно в момент времени $t=0$.

Запишем уравнения движения для обоих тел.

Для тела, брошенного из точки А под углом $\alpha$ к горизонту (назовем его тело 1):

Координата по оси X: $x_1(t) = (v_0 \cos \alpha)t$

Координата по оси Y: $y_1(t) = (v_0 \sin \alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Для тела, свободно падающего из точки B (назовем его тело 2):

Координата по оси X: $x_2(t) = L$

Координата по оси Y: $y_2(t) = H - \frac{gt^2}{2}$

Столкновение тел произойдет в тот момент времени $t_{ст}$, когда их координаты совпадут: $x_1(t_{ст}) = x_2(t_{ст})$ и $y_1(t_{ст}) = y_2(t_{ст})$.

Составим систему уравнений, приравняв координаты:

$ (v_0 \cos \alpha)t_{ст} = L $ (1)

$ (v_0 \sin \alpha)t_{ст} - \frac{gt_{ст}^2}{2} = H - \frac{gt_{ст}^2}{2} $ (2)

Докажите, что угол α не зависит от начальной скорости v₀ тела, брошенного из точки А

Упростим второе уравнение, сократив член $-\frac{gt_{ст}^2}{2}$ в обеих частях:

$ (v_0 \sin \alpha)t_{ст} = H $ (3)

Теперь у нас есть система из двух более простых уравнений:

$ \begin{cases} (v_0 \cos \alpha)t_{ст} = L \\ (v_0 \sin \alpha)t_{ст} = H \end{cases} $

Чтобы найти зависимость для угла $\alpha$, разделим второе уравнение системы (3) на первое (1):

$ \frac{(v_0 \sin \alpha)t_{ст}}{(v_0 \cos \alpha)t_{ст}} = \frac{H}{L} $

Сократим в левой части $v_0$ и $t_{ст}$:

$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{H}{L} $

Отсюда получаем:

$ \tan \alpha = \frac{H}{L} $

Полученное выражение связывает угол броска $\alpha$ только с начальными геометрическими параметрами задачи — высотой $H$ и расстоянием $L$. Начальная скорость $v_0$ в это уравнение не входит. Следовательно, угол $\alpha$, необходимый для столкновения, не зависит от начальной скорости.

Ответ: Условие столкновения тел приводит к соотношению $\tan \alpha = \frac{H}{L}$, которое не содержит начальную скорость $v_0$. Таким образом, доказано, что угол $\alpha$ не зависит от $v_0$.

определите этот угол, если $\frac{H}{L} = \sqrt{3}$

Используем выведенную выше формулу и подставим в нее заданное условие:

$ \tan \alpha = \frac{H}{L} = \sqrt{3} $

Найдем угол $\alpha$ (учитывая, что для броска вверх угол должен быть в диапазоне $0 < \alpha < 90^\circ$):

$ \alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ $

Ответ: $ \alpha = 60^\circ $.