Номер 13, страница 30 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Кинематика. Механика - номер 13, страница 30.

Условие.

О3. Муха заметила на столе каплю меда, пролетая точно над ней горизонтально со скоростью $v_0$ на высоте $\text{H}$. Как надо двигаться мухе, чтобы как можно быстрее добраться до меда? Сколько времени $\text{t}$ для этого понадобится? Считайте, что муха способна развивать в любом направлении ускорение $\text{a}$.

☑ Муха должна двигаться с постоянным ускорением по параболе.

$t = \frac{v_0}{a} \sqrt{2 \left(1 + \sqrt{1 + \left(\frac{aH}{v_0^2}\right)^2}\right)}$

Решение. Задачу удобнее решать в инерциальной системе отсчета, скорость которой относительно стола равна начальной скорости мухи $v_0$. В этой системе отсчета муха А вначале неподвижна и может начинать движение в любом направлении, а капля меда В «убегает» от нее по столу со скоростью, по модулю равной $v_0$. Для того чтобы достичь капли в кратчайшее время, мухе нужно двигаться с максимально возможным ускорением к точке С, в которой муха должна оказаться одновременно с каплей меда. Положение точки С находим из уравнений

$AC = \frac{at^2}{2}, BC = v_0t.$

Из прямоугольного треугольника ABC получаем: $\left(\frac{at^2}{2}\right)^2 = (v_0t)^2 + H^2$, откуда

$t = \frac{v_0}{a} \sqrt{2 \left(1 + \sqrt{1 + \left(\frac{aH}{v_0^2}\right)^2}\right)}$

Рис. a

Рис. б

В системе отсчета, связанной со столом, ускорение мухи такое же (так как $v_0 = \text{const}$); значит, движение будет происходить с постоянным ускорением. Однако в этой системе отсчета траектория имеет форму параболы, ось которой параллельна $\vec{a}$ (т. е. отрезку АС). Примерный вид траектории показан на рисунке а.

Решение.

Муха должна двигаться с постоянным ускорением по параболе.

Дано:
Начальная горизонтальная скорость мухи: $v_0$
Высота полета мухи: $H$
Максимальное постоянное ускорение, которое может развить муха: $a$

Найти:
Минимальное время движения до капли меда: $t$

Решение:
Для решения задачи удобнее всего перейти в инерциальную систему отсчета (ИСО), которая движется относительно стола с постоянной скоростью, равной начальной скорости мухи $\vec{v}_0$.

В этой ИСО муха в начальный момент времени покоится. Капля меда, которая неподвижна на столе, в этой движущейся системе отсчета удаляется со скоростью $-\vec{v}_0$. Начальное положение капли меда находится на расстоянии $H$ прямо под мухой.

Чтобы добраться до капли за кратчайшее время, муха должна начать движение с максимально возможным постоянным ускорением $\vec{a}$ и направить его прямо в точку C, где она встретится с каплей. Пусть встреча произойдет через время $t$.

За это время муха, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, пролетит расстояние AC, равное: $AC = \frac{at^2}{2}$

За то же время капля меда в этой ИСО сместится по горизонтали на расстояние BC: $BC = v_0 t$

В начальный момент времени муха находилась в точке A, а проекция ее положения на стол — в точке B. Расстояние между ними (начальная высота) равно $AB = H$. Векторы перемещений мухи (AC), капли меда (BC) и начальное вертикальное расстояние (AB) образуют прямоугольный треугольник ABC.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: $AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим выражения для длин сторон: $\left(\frac{at^2}{2}\right)^2 = H^2 + (v_0 t)^2$

$\frac{a^2 t^4}{4} = v_0^2 t^2 + H^2$

Перепишем уравнение в виде биквадратного уравнения относительно $t$: $a^2 t^4 - 4v_0^2 t^2 - 4H^2 = 0$

Сделаем замену переменной $x = t^2$, где $x > 0$. $a^2 x^2 - 4v_0^2 x - 4H^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение для $x$: $x = \frac{-(-4v_0^2) \pm \sqrt{(-4v_0^2)^2 - 4(a^2)(-4H^2)}}{2a^2} = \frac{4v_0^2 \pm \sqrt{16v_0^4 + 16a^2 H^2}}{2a^2}$

Поскольку время $t$ должно быть действительным, то $t^2 = x$ должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем решение с положительным знаком перед корнем: $t^2 = x = \frac{4v_0^2 + 4\sqrt{v_0^4 + a^2 H^2}}{2a^2} = \frac{2v_0^2 + 2\sqrt{v_0^4 + a^2 H^2}}{a^2}$

Преобразуем выражение, вынеся общие множители: $t^2 = \frac{2}{a^2} \left(v_0^2 + \sqrt{v_0^4 \left(1 + \frac{a^2 H^2}{v_0^4}\right)}\right) = \frac{2v_0^2}{a^2} \left(1 + \sqrt{1 + \left(\frac{aH}{v_0^2}\right)^2}\right)$

Наконец, извлекая квадратный корень, находим искомое время $t$: $t = \frac{v_0}{a} \sqrt{2\left(1 + \sqrt{1 + \left(\frac{aH}{v_0^2}\right)^2}\right)}$

Что касается характера движения, то в системе отсчета, связанной со столом, муха имеет начальную скорость $\vec{v}_0$ и движется с постоянным ускорением $\vec{a}$. Движение тела с постоянным ускорением всегда происходит по параболической траектории.

Ответ: Муха должна двигаться с постоянным ускорением, направленным в точку встречи с каплей меда. В системе отсчета, связанной со столом, ее траектория будет параболой. Время, которое для этого понадобится, равно $t = \frac{v_0}{a}\sqrt{2\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{aH}{v_0^2}\right)^2}\right)}$.