Номер 3.7, страница 28 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Кинематика. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Упражнения - номер 3.7, страница 28.

Условие.

3.7. Тело брошено с начальной скоростью $v_0 = 20$ м/с под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Сколько времени длится полет? На каком расстоянии от места бросания упадет тело? При каком значении угла $\alpha$ дальность полета будет наибольшей? Найдите уравнение траектории тела.

☑ 2 с; 35,3 м; 45°.

Решение. В отсутствие сопротивления воздуха тело движется с постоянным ускорением $\text{g}$, хотя движение и криволинейное. Выберем систему координат, как показано на рисунке. Поскольку $g_x = 0$, проекция тела на ось $\text{x}$ совершает равномерное движение. Тело как бы участвует одновременно в двух движениях — равномерном вдоль оси $\text{x}$ и равноускоренном вдоль оси $\text{y}$. Координаты тела изменяются по закону

$x = v_{0x}t; y = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$ и $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$.

Время полета найдем из условия $y = 0$, откуда

$t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = 2$ (с). Дальность полета $\text{l}$ равна координате $\text{x}$ в момент падения: $l = v_{0x}t = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} \approx 35,3$ (м).

Максимальная дальность

достигается при $\sin 2\alpha = 1$, т. е. при $\alpha = 45^\circ$. Найти уравнение траектории тела — значит связать непосредственно $\text{x}$ и $\text{y}$, исключив $\text{t}$. Выразив $\text{t}$ через $\text{x}$ с помощью соотношения $t = x/v_{0x}$ и подставив значение $\text{t}$ в формулу для $\text{y}$, получим:

$y = \frac{v_{0y}}{v_{0x}}x - \frac{g x^2}{2v_{0x}^2} = x \operatorname{tg} \alpha - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2$.

Это уравнение параболы.

Решение.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 20$ м/с

Угол броска, $\alpha = 30^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

Все исходные величины уже представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Время полета, $t$ - ?

Дальность полета, $l$ - ?

Угол для максимальной дальности, $\alpha_{max}$ - ?

Уравнение траектории, $y(x)$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (в отсутствие сопротивления воздуха), представляет собой сложное движение, которое можно разложить на два независимых: равномерное движение вдоль горизонтальной оси Ox и равноускоренное движение с ускорением свободного падения $g$ вдоль вертикальной оси Oy. Выберем систему координат с началом в точке броска, ось Ox направим горизонтально, а ось Oy — вертикально вверх.

Проекции начальной скорости на оси координат равны:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Уравнения, описывающие зависимость координат тела от времени, имеют вид:

$x(t) = v_{0x}t = (v_0 \cos\alpha)t$

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Сколько времени длится полет?

Полет тела продолжается до тех пор, пока оно не вернется на начальную высоту, то есть пока его вертикальная координата $y$ не станет равной нулю. Приравняем уравнение для $y(t)$ к нулю:

$(v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2} = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(v_0 \sin\alpha - \frac{gt}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два корня. Первый корень $t_1 = 0$ соответствует начальному моменту времени (моменту броска). Второй корень находится из условия $v_0 \sin\alpha - \frac{gt}{2} = 0$ и представляет собой полное время полета $t$.

$t = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$

Подставим заданные значения ($v_0 = 20$ м/с, $\alpha = 30^\circ$, $g \approx 9.8$ м/с²):

$t = \frac{2 \cdot 20 \text{ м/с} \cdot \sin 30^\circ}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{40 \cdot 0.5}{9.8} \text{ с} = \frac{20}{9.8} \text{ с} \approx 2.04 \text{ с}$

(В ответе из задачника указано 2 с, что соответствует расчету при округленном значении $g=10$ м/с²).

Ответ: $t \approx 2.04$ с.

На каком расстоянии от места бросания упадет тело?

Дальность полета $l$ — это горизонтальное расстояние, пройденное телом за полное время полета $t$. Найдем его, подставив время полета в уравнение для координаты $x(t)$.

$l = x(t) = (v_0 \cos\alpha)t = (v_0 \cos\alpha) \left( \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} \right) = \frac{v_0^2 (2 \sin\alpha \cos\alpha)}{g}$

Применяя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, получаем окончательную формулу для дальности полета:

$l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$l = \frac{(20 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 30^\circ)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \cdot \sin(60^\circ)}{9.8} \text{ м} \approx 35.3 \text{ м}$

Ответ: $l \approx 35.3$ м.

При каком значении угла α дальность полета будет наибольшей?

Из формулы дальности полета $l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ видно, что при фиксированной начальной скорости $v_0$, дальность $l$ зависит только от угла $\alpha$. Максимальное значение $l$ будет достигнуто, когда $\sin(2\alpha)$ примет свое максимальное значение.

Максимальное значение функции синус равно 1. Следовательно,

$\sin(2\alpha) = 1$

Это достигается при $2\alpha = 90^\circ$.

$\alpha = 45^\circ$

Ответ: $\alpha = 45^\circ$.

Найдите уравнение траектории тела.

Уравнение траектории — это зависимость $y(x)$, не содержащая времени $t$. Для ее получения исключим время из системы уравнений движения:

$x = (v_0 \cos\alpha)t \implies t = \frac{x}{v_0 \cos\alpha}$

Подставим это выражение для $t$ в уравнение для $y$:

$y = (v_0 \sin\alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos\alpha} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \cos\alpha} \right)^2$

Упрощая, получаем:

$y = x \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} x^2$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Подставим в него числовые данные задачи:

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

$y = x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{9.8}{2 \cdot 20^2 \cdot (3/4)} x^2 = \frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{9.8}{600} x^2$

Для практических расчетов можно перейти к десятичным дробям:

$y \approx 0.577x - 0.0163x^2$

Ответ: $y(x) = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} x^2$, что для данных условий составляет $y(x) \approx 0.577x - 0.0163x^2$.